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碩士研究生入學(xué)考試《數(shù)學(xué)分析》考試大綱
Ⅰ考試形式和試卷結(jié)構(gòu)
一、試卷滿分及考試時間
本試卷滿分為150分,考試時間為3小時。
二、答題方式
答題方式為閉卷、筆試。
三、試卷題型結(jié)構(gòu)
1、填空題 40 分
2、計算題 50 分
3、證明題 60分
II考試范圍
一元微積分部分
1.會用ε—N定義證明數(shù)列極限有關(guān)問題,并會用ε—N語言正確表述數(shù)列不以某數(shù)為極限;
2.理解收斂數(shù)列的性質(zhì),極限的唯一性、保號性及不等式性質(zhì);?
3.會用極限的四則運算法則,迫斂性定理以及單調(diào)有界定理求收斂數(shù)列的極限;
4.理解柯西準(zhǔn)則在極限理論中的重要意義,能用該準(zhǔn)則判定某些簡單數(shù)列的斂散性。
5.能運用函數(shù)極限定義證明與函數(shù)極限有關(guān)的某些命題,會給出函數(shù)不以某定數(shù)為極限的相應(yīng)表述;?
6.掌握函數(shù)極限基本性質(zhì):唯一性、局部保號性、不等式性質(zhì)及有理運算性質(zhì);
7.理解Heine定理及Cauchy準(zhǔn)則,初步掌握運用它們證明函數(shù)極限存在的基本思路;?
8.識記兩個重要極限,能靈活運用其求一些相關(guān)函數(shù)極限;?
9 .明確函數(shù)在一點連續(xù)定義的幾種等價敘述;?
10.會熟練準(zhǔn)確地求出一般初等函數(shù)或分段函數(shù)的間斷點并判別其類型;?
11.理解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),并能在相關(guān)問題的討論中正確運用這些重要性質(zhì);?
12.深刻理解初等函數(shù)的連續(xù)性,應(yīng)用連續(xù)性求極限;?
13.掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),理解其幾何意義,并能在各種有關(guān)具體問題中加以運用;
14.利用定義法求函數(shù)在一點的導(dǎo)數(shù);導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別,可導(dǎo)的充要條件,可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系,求曲線上一點處的切線方程,用導(dǎo)數(shù)概念解決相關(guān)變化率的實際應(yīng)用問題;
15.熟記各類基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式,綜合運用求導(dǎo)的法則和方法熟練計算初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù);
16.理解函數(shù)微分的概念,用定義求簡單函數(shù)的微分,運用基本公式和微分法則求初等函數(shù)的微分;?
17.導(dǎo)數(shù)與微分的聯(lián)系,增量與微分的關(guān)系,用微分作近似計算;?
18.理解高階導(dǎo)數(shù)與高階微分概念,明確二者的聯(lián)系,會求高階導(dǎo)數(shù)與高階微分,理解一階微分形式的不變性并用其求復(fù)合函數(shù)的微分。
19.利用中值定理證明有關(guān)函數(shù)微分學(xué)的命題;?
20.用洛比塔法則求不定式的極限;?
21.討論函數(shù)及曲線性態(tài),用導(dǎo)數(shù)作函數(shù)圖象;?
22.求解有關(guān)最大(小)值的應(yīng)用問題;?
23. 用中值定理及單調(diào)性證明不等式,方程根的存在個數(shù)及分布討論。
24.區(qū)間套、確界、覆蓋、子列等概念的理解;求點集的聚點、確界;
25.對實數(shù)基本定理的理解和準(zhǔn)確表述,明確其等價性;?
26.應(yīng)用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)討論函數(shù)的有界性、最值性、證明方程根的存在性;?
27.原函數(shù)與不定積分的關(guān)系及其幾何意義;積分與微分的關(guān)系;?
28.熟記基本積分公式,用線性運算法則求不定積分;?
29.用換元積分法和分部積分法或綜合運用這幾種方法求不定積分;
30.理解并掌握定積分的思想(分割、近似求和、取極限)的基礎(chǔ)上會用定義求簡單函數(shù)的定積分;?
31.用微積分學(xué)基本定理及牛頓——萊布尼茲公式進行有關(guān)積分的證明和計算;變限積分的求導(dǎo)法則及應(yīng)用;?
32.用換元積分法和分布積分法計算定積分;
33.用定積分解決某些幾何應(yīng)用問題:平面圖形面積、平面曲線的弧長、一些特殊立體的體積、旋轉(zhuǎn)曲面的面積等的計算;?
34.用比較法、Cauchy法判別無窮限積分的收斂性;?
二 級數(shù)部分
1.級數(shù)斂散性的概念及收斂級數(shù)性質(zhì)的理解和運用;?
2.用定義、性質(zhì)及收斂的必要條件判別級數(shù)的斂散性;?
3.用比較法、比式法、根式法、積分法判別正項級數(shù)斂散性;?
4.用萊布尼茲判別法判斷交錯級數(shù)的斂散性;?
5.用Abel及Dirichlet判別法判斷某些級數(shù)的斂散性;
6.函數(shù)列或函數(shù)項級數(shù)一致收斂的概念和性質(zhì)的理解與掌握;?
7.函數(shù)項級數(shù)一致收斂性的判別;?
8.掌握一致收斂的函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)表示的函數(shù)的連續(xù)性、可積性、可微性,并用這些性質(zhì)去解決有關(guān)問題;
9.求冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域;?
10.熟記幾個常用初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式,并利用其將某些初等函數(shù)展開成冪級數(shù);
11.用冪級數(shù)的性質(zhì)及逐項求導(dǎo)和逐項積分求某些冪級數(shù)的和函數(shù);
12.明確函數(shù)冪級數(shù)展開的條件及求函數(shù)冪級數(shù)展開式的一般步驟。
三.多元微積分部分?
1.理解并掌握二元函數(shù)極限概念,明確重極限與累次極限的關(guān)系,能借助累次極限解決極限有關(guān)問題;說明二元函數(shù)極限不存在的常用方法的應(yīng)用;?
2.理解二元函數(shù)連續(xù)的概念,會利用連續(xù)性求初等函數(shù)的極限,掌握有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì);?
3.深刻理解全微分和偏導(dǎo)數(shù)的概念及聯(lián)系,用定義討論函數(shù)的可微性;
4.用定義求函數(shù)在指定點的偏導(dǎo)數(shù);?
5.熟練運用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則計算各階偏導(dǎo)數(shù);?
6.函數(shù)的可微、連續(xù)、偏導(dǎo)存在與偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)之間關(guān)系;?
7.求空間曲線的切線和法平面;曲面的切平面和法線;?
8.求二元函數(shù)的極值及一些簡單的最大(小)值應(yīng)用問題;?
9.求隱函數(shù)及隱函數(shù)組的導(dǎo)數(shù);?
10.隱函數(shù)理論在幾何上的應(yīng)用,求曲線切線、法線(法平面)、求曲面的切平面和法線;?
11.用Lagrange乘數(shù)法求條件極值;
12.分析、論證含參量積分定義的函數(shù)的連續(xù)性,可微性或可積性;
13.判別含參量反常積分一致收斂性;?
14.用對參量的積分、微分、極限等運算求定積分或反常積分;?
15.Γ函數(shù)及B函數(shù)的定義、關(guān)系及遞推公式的應(yīng)用。?
16.熟練運用兩類曲線(曲面)積分的計算法求曲線(曲面)積分;
17.直角坐標(biāo)系下計算二重積分及二次積分交換順序;?
18.利用變量替換公式簡化二重積分計算,特別是利用極坐標(biāo)變換計算二重積分;
19 .應(yīng)用Green公式計算第二型曲線積分,及用第二型曲線積分計算平面圖形面積;
20.化三重積分為累次積分,用柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)計算三重積分;
21.應(yīng)用Gauss公式計算曲面積分。?
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