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長春理工大學(xué)數(shù)學(xué)研究生入學(xué)加試

《實(shí)變函數(shù)與泛函分析》考試大綱

一、總體要求

考生應(yīng)按本大綱的要求，掌握Lebesgue的測度論，實(shí)變量的可測函數(shù)理論，Lebesgue積分理論與微分理論，掌握度量空間和賦范線性空間的概念和例子，有界線性算子和連續(xù)線性泛函的概念和例子，掌握Hilbert空間的基本性質(zhì)。較好的掌握測度論與抽象積分理論，并且在一定程度上掌握集合的分析方法。

二、教材

《實(shí)變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)(第二版)》，程其襄等，高等教育出版社,2003.

三、考試內(nèi)容

(一) 集合

1. 掌握集合的概念，集合的包含和相等的關(guān)系和判定方法;

2. 熟練掌握集合的和、交、差、余的運(yùn)算，掌握上限集、下限集和收斂集的定義

3. 會求集合的和、交、差、余，會求集合族的上限集、下限集，會判定集合列是否收斂;

4. 理解集合基數(shù)的概念，對等的概念，掌握Bernstein定理，會用Bernstein定理判定集合對等;

5. 掌握可數(shù)集合與具有連續(xù)基數(shù)的不可數(shù)集合的概念、例子和運(yùn)算性質(zhì)，能夠利用已知的例子和運(yùn)算性質(zhì)去確定集合為哪類無限集合;

6. 知道不存在具有最大基數(shù)的集合。

(二)點(diǎn)集

1. 理解距離和距離空間的概念，懂得Euclid空間是距離空間;

2. 掌握鄰域的概念與性質(zhì)，掌握點(diǎn)列收斂、點(diǎn)集距離、有界集和區(qū)間的概念;

3.深入理解內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、界點(diǎn)、聚點(diǎn)、孤立點(diǎn)的定義，理解并掌握集合的開核、導(dǎo)集、邊界、閉包的概念及相關(guān)的性質(zhì);

4. 熟練掌握開集、閉集的概念和相關(guān)性質(zhì)，掌握緊集的概念，完備集的概念，掌握有限覆蓋定理;

5. 理解直線上開集、閉集的構(gòu)造定理，掌握Cantor集的性質(zhì)。

(三)測度論

1.深入理解并熟練掌握外測度，L-可測集的定義和基本性質(zhì)，并掌握典型的例子

2.理解

代數(shù)的定義，掌握Borel集、 型集、 型集的定義，明確可測集和Borel集、 型集、 型集之間的關(guān)系，掌握L-可測集類;

 

(四)可測函數(shù)

1. 理解并掌握可測函數(shù)的定義與等價條件，掌握簡單函數(shù)的概念，幾乎處處收斂的概念，理解簡單函數(shù)與可測函數(shù)的關(guān)系;

2. 理解Egorov定理，Lusin定理;

3. 理解并掌握依測度收斂的定義，理解Riesz定理，Lebesgue定理，會利用這兩個定理去解決實(shí)際問題。

(五)積分論

1. 理解并熟練掌握Lebesgue積分的定義和等價條件，明確L-可積函數(shù)的種類;

2. 熟練掌握L-積分的性質(zhì)：特別是Lebesgue控制收斂定理，Levi定理，逐項積分定理，積分的可數(shù)可加性，F(xiàn)atou引理，能夠熟練地利用這些性質(zhì)解決實(shí)際問題;

3. 知道L-積分與R-積分的關(guān)系;理解Lebesgue積分的幾何意義及Fubini定理。

(六)微分與不定積分

1. 掌握單調(diào)函數(shù)、有界變差函數(shù)的可微性和其微分的L-可積性,掌握不定積分的概念，絕對連續(xù)函數(shù)的概念，以及L-可積函數(shù)的Newton-Leibniz公式;

2. 理解分步積分法;

3. 了解Steiltjes積分。

(七)度量空間和賦范線性空間

1. 理解并熟練掌握度量空間中的相關(guān)概念和性質(zhì)，特別是可分空間，完備度量空間，度量空間的完備化公理，壓縮影射原理及應(yīng)用;

理解并掌握賦范線性空間的定義，例子;掌握Banach空間的定義，例子和性質(zhì)。

(八)有界線性算子和連續(xù)線性泛函

1. 理解并掌握有界線性算子，無界線性算子，連續(xù)線性泛函的定義和例子;

2.理解并掌握算子范數(shù)的定義，會求簡單的算子范數(shù);

3.理解并掌握有界線性算子空間及其共軛空間的定義，例子，及簡單的性質(zhì)，會求簡單的線性算子空間的共軛空間;

4.了解廣義函數(shù)的定義和例子。

(九)　Hilbert空間

1. 掌握內(nèi)積空間的定義，Hilbert空間的定義和例子，明確內(nèi)積空間中范數(shù)、距離及正交的定義;

2. 理解并掌握Hilbert空間中的投影定理;

3. 掌握規(guī)范正交系，F(xiàn)ourier系數(shù)的定義，理解并掌握完全規(guī)范正交系，F(xiàn)ourier展開式的概念，掌握完全規(guī)范正交系的等價條件，判定定理，以及Hilbert空間中完全規(guī)范正交系的存在性;

4. 掌握Riesz表示定理，共軛算子的概念及性質(zhì);

5. 了解自伴算子，酉算子和正常算子的定義和簡單性質(zhì)。