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《高等代數(shù)》考試大綱

一、考試的性質(zhì)

高等代數(shù)是大學(xué)數(shù)學(xué)系本科學(xué)生的最基本課程之一，也是大多數(shù)理工科專業(yè)學(xué)生的重要基礎(chǔ)課程。為幫助考生明確考試范圍和有關(guān)要求，特制訂出本考試大綱。

本考試大綱主要根據(jù)北京林業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)本科《高等代數(shù)》教學(xué)大綱編制而成，適用于報考北京林業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科各專業(yè)（基礎(chǔ)數(shù)學(xué)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計、計算數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)）碩士學(xué)位研究生的考生。

二、考試內(nèi)容和基本要求

1.多項式

（1）多項式及其運算

（2）整除性理論

（3）最大公因式

（4）因式分解定理

（5）重因式

（6）復(fù)系數(shù)與實系數(shù)多項式的因式分解

（7）有理系數(shù)多項式

要求：理解數(shù)域上一元多項式的概念、多項式整除的概念和性質(zhì)、最大公因式的概念和性質(zhì)。掌握多項式的加法和乘法，會作帶余除法，會求最大公因式；了解多項式互素、不可約多項式、多項式的導(dǎo)數(shù)及重因式分解的概念。理解因式分解唯一性定理，會判別重因式；了解多項式函數(shù)和多項式根的概念，會求有理系數(shù)多項式的有理根。

2．行列式

（1）n階行列式的定義

（2）行列式的性質(zhì)

（3）列式按行(列)展開公式

（4）行列式的計算

（5）矩陣的初等變換，階梯形矩陣和行簡化階梯形矩陣

（6）克萊姆法則

要求：理解n階行列式的概念與性質(zhì)，掌握矩陣的初等變換；掌握行列式的計算，會運用行列式的性質(zhì)，通過降階法和消去法及其綜合使用去計算行列式；熟悉克萊姆法則，會運用它解線性方程組。

3．線性方程組

（1）線性方程組的初等變換

（2）n維向量空間

（3）線性相關(guān)性

（4）向量組的極大線性無關(guān)組和秩，矩陣的秩

（5）線性方程組的有解判別定理與解的結(jié)構(gòu)

要求：理解消元法和矩陣初等變換的關(guān)系，掌握用矩陣初等變換解線性方程組的方法；理解線性相關(guān)、線性無關(guān)、線性表出的概念及其與線性方程組的關(guān)系，會判別向量組是否線形相關(guān)；理解向量組的秩和極大線性無關(guān)的概念，并會計算；理解矩陣的秩的概念，熟悉用初等變換求矩陣的秩和等價標(biāo)準(zhǔn)形的方法；熟悉線性方程組有解判別定理及其應(yīng)用。

4．矩陣

（1）矩陣的運算

（2）矩陣的分塊

（3）矩陣的逆

（4）正交矩陣

（5）等價矩陣

（6）初等矩陣與初等交換的關(guān)系

要求：理解矩陣可逆與矩陣的概念，掌握矩陣可逆的判別，了解初等矩陣與初等變換的關(guān)系。知道對稱矩陣、反對稱矩陣、正交矩陣的概念；掌握矩陣的加法、乘法、數(shù)量乘法和轉(zhuǎn)置運算。掌握用初等變換求逆矩陣的方法，會做矩陣的分塊運算。

5．二次型

（1）二次型及其矩陣表示

（2）化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形

（3）復(fù)二次型和實二次型的規(guī)范形

（4）正定二次型，其它有定二次型

要求：理解二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形、規(guī)范形的概念，二次型與對稱矩陣的一一對應(yīng)關(guān)系。了解合同的概念及其性質(zhì)；掌握用初等變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法；了解正二次型的概念，會判別正定性，知道其它有定二次的概念。

6．線性空間

（1）集合、映射

（2）線性空間的定義和簡單性質(zhì)

（3）維數(shù)、基與坐標(biāo)

（4）基變換與坐標(biāo)變換

（5）線性子空間

（6）線性空間的同構(gòu)

要求：理解集合、映射、單射、滿射的概念和性質(zhì)；理解線性空間的概念，理解空間中基與維數(shù)的概念，理解基組在線性空間理論中的重要作用。掌握基變換與坐標(biāo)變換的公式及其應(yīng)用；理解子空間的概念，熟悉子空間判別方法。了解子空間的交與和、子空間的直和的概念，熟悉子空間的和是直和的幾個判別定理。熟悉維數(shù)公式；了解線性空間同構(gòu)的概念，了解數(shù)域上任一維線性空間與同構(gòu)的定理。知道同一數(shù)域上兩個有限維線性空間同構(gòu)的充要條件。

7．線性變換

（1）線性變換的定義和簡單性質(zhì)

（2）線性變換的運算

（3）線性變換在給定基下的矩陣，矩陣的相似

（4）線性變換的特征值與特征向量

（5）矩陣的對角化

（6）不變子空間，若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形

要求：理解線性變換的概念，理解線性變換在給定基下矩陣的概念，理解矩陣的相似、特征值與特征向量的概念，理解線性變換的對角化與矩陣的對角化的意義及其之間的關(guān)系，了解線性變換與矩陣的—對應(yīng)關(guān)系；了解特征多項式的概念及哈密頓-凱萊定理，了解線性變換的值域與核的概念，了解不變子空間的概念，知道根子空間的概念，知道最小多項式及其性質(zhì)，知道若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形；掌握線性變換的矩陣表示及其對角化，熟悉同一線性變換在不同基下矩陣之間的關(guān)系及其計算方法。

8．歐氏空間

（1）歐式空間的定義與簡單性質(zhì)

（2）度量矩陣、施密特正交化過程、標(biāo)準(zhǔn)正交基

（3）子空間的正交補

（4）歐氏空間的同構(gòu)

（5）正交變換、對稱變換與對稱矩陣

（6）最小二乘法

要求：理解歐氏空間、標(biāo)準(zhǔn)正交基、正交變換與正交矩陣的關(guān)系。了解度量矩陣、向量的長度與夾角的概念。了解歐氏空間同構(gòu)的概念和充要條件；掌握求標(biāo)準(zhǔn)正交基的方法；理解對稱變換極其充要條件，理解對稱變換與對稱矩陣的關(guān)系，掌握求實對稱矩陣正交相似標(biāo)準(zhǔn)形的方法。了解子空間正交補的概念，知道最小二乘法。

9．雙線性函數(shù)

（1）雙線性函數(shù)、對偶空間

（2）線性空間上的二次齊次函數(shù)

要求：掌握線性函數(shù)、對偶空間、對偶基和雙重對偶空間的概念；理解雙線性函數(shù)及其度量矩陣的定義；理解對稱雙線性函數(shù)的概念，知道對稱雙線性函數(shù)的度量矩陣的對角（分塊對角）形式。掌握二次函數(shù)的概念。

三、試卷題型

填空題、單項選擇題、計算題、證明題。

四、考試方式及時間考試方式：采用閉卷筆試形式，試卷滿分為150分，考試時間為180分鐘。

五、主要參考書

《高等代數(shù)》（第三版），北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組編，王萼芳、石生明修訂，高等教育出版社，2003。