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《實變函數(shù)與泛函分析》考試大綱

專業(yè)代碼：070101、070102、070103、070104

專業(yè)名稱：基礎(chǔ)數(shù)學(xué)、計算數(shù)學(xué)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計、應(yīng)用數(shù)學(xué)

考試科目代碼：840考試科目名稱：實變函數(shù)與泛函分析

（一）考試內(nèi)容

試題以程其襄等編著《實變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)》（第二版）（高等教育出版社，2003年12月，北京）為藍本，內(nèi)容涵蓋該教材的第一至五章和第七至十章，以可測函數(shù)、積分論和有界線性算子的知識為主，兼顧測度論、賦范線性空間和內(nèi)積空間等方面的內(nèi)容。試題重點考查的內(nèi)容：

一、測度論

1．外測度

2．可測集

二、可測函數(shù)

1．可測函數(shù)及其性質(zhì)

2．葉果洛夫定理與魯津定理

3．依測度收斂

三、積分論

1．勒貝格積分的定義及性質(zhì)

2．一般可積函數(shù)

3．積分的極限定理與富比尼定理

四、賦范線性空間和有界線性算子

1．賦范線性空間和巴拿赫空間

2．有界線性算子和連續(xù)線性泛函

五、內(nèi)積空間

1．投影定理

2．希爾伯特空間的規(guī)范正交系和連續(xù)線性泛函

六、巴拿赫空間中的基本定理

1．泛函延拓定理

2．綱定理、一致有界性定理、逆算子定理和閉圖像定理

3．強收斂、弱收斂和一致收斂

（二）考試的基本要求

1．基本概念清晰

對可測集、可測函數(shù)、勒貝格積分、賦范線性空間、有界線性算子、內(nèi)積空間等基本概念的理解要清晰全面。

2．知識點的綜合運用

注重各知識點之間的聯(lián)系和對知識點的綜合運用。例如：能熟練運用可測集、可測函數(shù)、勒貝格積分的各種性質(zhì)解決積分論中的綜合性問題；能運用有界線性算子和連續(xù)線性泛函的理論解決具體實例中的范數(shù)問題；能熟練運用內(nèi)積空間中的Bessel不等式和Parseval等式；能理解強收斂、弱收斂和一致收斂的區(qū)別和聯(lián)系，等等。

（三）考試形式

筆試、閉卷

（四）考試基本題型

基本題型可能有：填空題、計算題、解答題和證明題等。