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• 天津理工大學(xué)2025考研專業(yè)課復(fù)習(xí)資料「真題▪筆記▪講義▪題庫(kù)」

一、考試科目：實(shí)變函數(shù)

二、考試參考書目：<<實(shí)變函數(shù)與泛函分析概要>>（第三版）第一冊(cè)，高等教育出版社，2005.04。作者：鄭維行、王聲望編，

三、考試采用筆試方式，考試時(shí)間為120分鐘，試卷滿分為100分。

四、試卷結(jié)構(gòu)與分?jǐn)?shù)比重:

試卷共分為三部分：填空題、選擇題、計(jì)算與簡(jiǎn)證明題

五、考查的知識(shí)范圍與要求:

（一）、集合及其運(yùn)算

考查內(nèi)容

1.集合及其運(yùn)算；

2.映射.集的對(duì)等.可列集；

3.一維開集、閉集及其性質(zhì)；

4.開集的構(gòu)造；

5.n維歐幾得空間大意；

6.集的勢(shì)。

考查要求

1.理解集合、映射、集的對(duì)等、可列集及連續(xù)集等概念；

2.會(huì)進(jìn)行集合的運(yùn)算，并掌握可列集的常用性質(zhì)；

3.掌握一維開集、閉集性質(zhì)和結(jié)構(gòu)；

4.理解n維歐氏空間開集和閉集的結(jié)構(gòu)和點(diǎn)集的距離，會(huì)用分離性定理；

5.理解勢(shì)的概念，會(huì)簡(jiǎn)單應(yīng)用伯恩斯坦定理；

6.握康脫集的構(gòu)造和簡(jiǎn)單性質(zhì)。

（二）、勒貝格測(cè)度

考查內(nèi)容

1.有界集的內(nèi)、外測(cè)度、可測(cè)集；

2.可測(cè)集的性質(zhì)；

3.無界可測(cè)集與多維可測(cè)集的概念；

4.環(huán)上定義的測(cè)度。

考查要求

1.掌握有界開集、閉集測(cè)度的定義和有界集內(nèi)、外測(cè)度的概念及有界集內(nèi)外測(cè)度的簡(jiǎn)單性質(zhì)；

2.掌握有界可測(cè)集定義，理解無界可測(cè)集的概念；

3.掌握可測(cè)集的基本性質(zhì)，會(huì)使用這些性質(zhì)；

4.理解多維點(diǎn)集測(cè)度的概念，了解不可測(cè)集的存在性；

5.了解環(huán)上定義的測(cè)度。

（三）、可測(cè)函數(shù)

考查內(nèi)容

1.可測(cè)函數(shù)的基本性質(zhì)；

2.可測(cè)函數(shù)列的收斂性；

3.可測(cè)函數(shù)的構(gòu)造.

考查要求

1.理解可測(cè)函數(shù)的概念和它的等價(jià)條件及簡(jiǎn)單函數(shù)的可測(cè)性；

2.理解上下極限、連續(xù)函數(shù)、幾乎處處、近一致收斂、依測(cè)度收斂等概念；

3.理解簡(jiǎn)單函數(shù)與可測(cè)函數(shù)間的關(guān)系，掌握可測(cè)函數(shù)的基本性質(zhì)；

4.掌握可測(cè)函數(shù)列的幾種收斂的性質(zhì)和它們的運(yùn)算性質(zhì)及可測(cè)函數(shù)與可測(cè)函數(shù)列的關(guān)系；

5.理解葉果洛夫定理、里斯定理、魯津定理并會(huì)應(yīng)用它們；

6.掌握直線上有界可測(cè)集上的可測(cè)函數(shù)與直線上連續(xù)函數(shù)的關(guān)系。

（四）、積分理論

考查內(nèi)容

1.勒貝格積分概念；

2.積分的性質(zhì)；

3.積分序列的極限；

4.R積分與L積分的比較；

5.微分與積分。

考查要求

1.理解簡(jiǎn)單函數(shù)的Lebesgue積分、一般可測(cè)函數(shù)的Lebesgue積分及無界集上的Lebesgue積分的概念；

2.掌握Lebesgue積分的基本性質(zhì)并會(huì)應(yīng)用基本性質(zhì)計(jì)算；

3.理解Lebesgue積分的三大定理（法杜引理、勒維引理及Lebesgue控制收斂定理），會(huì)應(yīng)用Lebesgue積分的三大定理證明和計(jì)算；

4.理解Lebesgue積分與黎曼積分的區(qū)別與聯(lián)系.

5.理解囿變函數(shù)的概念和它可表示兩個(gè)單調(diào)函數(shù)差的充要條件；

6．理解上絕對(duì)連續(xù)函數(shù)的概念和它的充要條件。

（五）、函數(shù)空間

考查內(nèi)容

1.空間.完備性；

2.空間的可分性.

考查要求

1.理解空間的概念和它的完備性；

2.了解空間的可分性.