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考試的基本要求:

要求考生比較系統(tǒng)地理解數(shù)學分析的基本概念和基本理論，掌握數(shù)學分析的基本思想和方法。要求考生具有空間想象能力、邏輯推理能力、運算能力和綜合運用所學的知識分析問題和解決問題的能力。

考試內容和考試要求:

一、極限理論

考試內容

數(shù)列極限和函數(shù)極限的概念和基本性質柯西準則 和語言 基本極限及極限的四則運算 迫斂性定理和單調有界原理 無窮小的性質和應用

考試要求

1．理解和掌握基本概念，如有界、上確界、下確界、收斂、發(fā)散、無窮小等，熟悉收斂數(shù)列和收斂函數(shù)的性質，知道極限在分析類數(shù)學中的奠基性作用。

2．熟悉發(fā)散數(shù)列極限的的各種存在形式，準確理解數(shù)列極限和函數(shù)極限存在時的幾何形狀，能夠理解和運用余數(shù)定理和重因式判定定理。

3．理解保號性引理，能夠運用艾森斯坦(Eisenstein)判別法判定整系數(shù)多項式在有理數(shù)域上的不可約性。

4．深刻掌握和語言�？挛鳒蕜t

5．理解等價無窮小，并能熟練用于求函數(shù)極限

二、連續(xù)函數(shù)

考試內容

間斷點 連續(xù)函數(shù)的概念和基本性質 利用連續(xù)函數(shù)的性質求極限 一致連續(xù) 介值定理

考試要求

1. 理解函數(shù)在一點連續(xù)的概念，掌握各類間斷點。理解左極限、右極限與極限及間斷點的分類與判斷的關系。

2．理解連續(xù)函數(shù)的局部性質，掌握其幾何直觀和嚴密敘述轉換的技巧。

3. 理解一致連續(xù)定理，熟練掌握通過二次極限法證明函數(shù)一致連續(xù)的方法。

4．熟練使用介值定理和最值定理

三、導數(shù)和微分

考試內容

導數(shù)和微分地的定義 微分的幾何意義 微分的物理意義 高階導數(shù) 可微與連續(xù)的關系導數(shù)和微分的四則運算 初等函數(shù)導數(shù)的計算 復合函數(shù)的求導

考試要求

1. 理解在某一點左可導、又可導及可導的準確定義，理解可導的充要條件。

2. 理解微分為曲線的局部直線近似的幾何意義，掌握利用導數(shù)判斷函數(shù)圖像形狀的方法。

3. 理解可微函數(shù)連續(xù)的幾何解釋和掌握基于無窮小分析得證明。

4. 掌握導數(shù)和微分的四則運算和初等函數(shù)導數(shù)的計算。

5. 掌握復合函數(shù)的求導。

6. 掌握微分形式不變性。

四、微分中值定理及其應用

考試內容

三個中值定理 洛比達法則 泰勒公式 函數(shù)的幾何形狀（單調、極值、凹凸性）

考試要求

1. 利用羅爾中值定理和拉格朗日中值定理證明函數(shù)在某一點滿足一代數(shù)方程。

2. 熟練掌握洛比達法則，并清楚洛比達法則的適用范圍。

3. 熟練掌握兩類泰勒公式的計算和處理公式中的高階無窮小量。

4. 理解一、二階泰勒公式?jīng)Q定了函數(shù)曲線的基本性質，掌握用一階導數(shù)和二階導數(shù)判斷單調、極值和凹凸性。

五、實數(shù)的完備性

考試內容

單調有界原理 聚點定理 有限覆蓋定理 區(qū)間套定理 有界閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)

考試要求

1. 理解六大原理并掌握相互等價的證明。

2．掌握用有限覆蓋定理和區(qū)間套定理處理有界閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的性質。

六、一元積分學

考試內容

定積分的定義和幾何意義 不定積分和定積分的計算 微積分基本定理 變限積分 定積分思想的應用 計算各類積分 廣義積分

考試要求

1.理解并掌握定積分的思想：分割、近似求和、取極限，進而會利用定義解決問題，可積的必要條件及上和、下和的性質。

2.積分與微分的互逆關系，原函數(shù)與不定積分的關系及其幾何意義。

3.熟練運用基本積分表中的公式，換元法、分部積分法并能解決求積問題，特殊類型的初等函數(shù)的積分，如有理函數(shù)的積分、三角函數(shù)有理式的積分及某些無理函數(shù)的積分。

4.理解掌握微積分學基本定理，熟練應用牛頓－萊布尼茨公式，變動上限積分，會對變動上限積分求導。

5.理解反常積分的概念，掌握無窮積分與無界函數(shù)的反常積分的收斂判斷和計算方法

七、數(shù)項級數(shù)和函數(shù)項級數(shù)

考試內容

數(shù)項級數(shù)的收斂性與發(fā)散性 絕對收斂 條件收斂 函數(shù)項級數(shù)的收斂性與發(fā)散性 級數(shù)收斂與發(fā)散的判斷準則 一致收斂與交換極限

考試要求

1.掌握數(shù)項級數(shù)和函數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散性概念，掌握用極限理論分析級數(shù)。

2.理解數(shù)項級數(shù)收斂的必要條件，掌握萊布里茲尼法則判斷交錯級數(shù)的收斂性。

3.理解絕對收斂與條件收斂的區(qū)別，并掌握對絕對收斂級數(shù)的并、拆項操作。

4.掌握函數(shù)項級數(shù)的M-判別法、比值判別法和根值判別法。

5.掌握阿貝爾判別法和狄利克雷判別法。

6.掌握一致收斂的基本證明方法。

7.理解一致收斂在函數(shù)項級數(shù)繼承通項性質（連續(xù)、可微、可積）中的作用。

八、冪級數(shù)和傅立葉級數(shù)

考試內容

收斂半徑 阿貝爾定理 冪級數(shù)展開 傅立葉級數(shù)

考試要求

1.掌握求冪級數(shù)收斂半徑、收斂區(qū)間。

2.掌握求函數(shù)的冪級數(shù)展開的技巧。

3.掌握求冪級數(shù)的和函數(shù)的技巧以及用來求數(shù)項級數(shù)的和。

4.掌握傅立葉級數(shù)、正弦級數(shù)和余弦級數(shù)。

 九、多元函數(shù)微分學

考試內容

多元函數(shù)的極限 二元連續(xù)函數(shù) 偏導數(shù)、可微和高階偏導數(shù)泰勒公式 拉格朗日乘子法 隱函數(shù)定理

考試要求

1.掌握二元函數(shù)極限、偏導數(shù)、方向導數(shù)的求法以及檢驗極限不存在的方法。

2.理解偏導數(shù)和可微的幾何意義及其與函數(shù)連續(xù)偏導數(shù)連續(xù)之間的關系，并會求出曲面的法線和切平面。

3.掌握求較復雜函數(shù)的二階偏導數(shù)的方法，尤其是熟練掌握鏈法則。

4.理解二階泰勒公式并進而理解極值定理，掌握拉格朗日乘子法。

5.理解隱函數(shù)定理，并掌握計算隱函數(shù)或參數(shù)表示的函數(shù)的二階偏導數(shù)。

十、重積分

考試內容

重積分的定義及幾何意義 變量代換 極坐標、球面坐標和柱面坐標

考試要求

1.掌握重積分的定義幾何意義并利用對稱性化簡。

2.理解并掌握化重積分為累次積分的計算技巧。。

3.理解變量代換的幾何意義并掌握積累最重要的技巧。

4.熟練掌握利用極坐標、球面坐標和柱面坐標計算重積分。

十一、曲線積分和曲面積分

考試內容

第一、二型曲線積分 第一、二型曲面積分 格林公式 奧-高公式

考試要求

1.理解第一、二類曲線積分和曲面積分的幾何和物理意義。

2.理解并掌握格林公式，利用此公式熟練轉化曲線積分與重積分的計算，并且深刻理解積分與路徑無關與微分方程和場論的聯(lián)系。

3.掌握奧-高公式并能在空中曲線積分、曲面積分和三重積分之間熟練轉換。

4.了解場論中的格林公式的證明。

十二、含參變量積分

考試內容

含參變量積分的定義 含參變量積分與函數(shù)項級數(shù)的關系 廣義含參變量積分的一致收斂與交換極限

考試要求

1.掌握用函數(shù)項級數(shù)處理含參變量積分的方法。

2.理解廣義含參變量積分的一致收斂性，及積分號內外求極限（導數(shù)、積分）。

3.熟練掌握一致收斂的證明方法，尤其是二次極限的方法。

主要參考書目:

《數(shù)學分析》，華東師范大學數(shù)學系 編， 2004年12月第3版，高等教育出版社出版