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長(zhǎng)春理工大學(xué)數(shù)學(xué)研究生入學(xué)初試

《數(shù)學(xué)分析》考試大綱

一、總體要求

考生應(yīng)按本大綱的要求，了解或理解數(shù)學(xué)分析中的函數(shù)、極限和連續(xù)、實(shí)數(shù)的基本理論、一元函數(shù)微分學(xué)、一元函數(shù)積分學(xué)、無(wú)窮級(jí)數(shù)、多元函數(shù)微積分學(xué)的基本概念與基本理論;學(xué)會(huì)、掌握或熟練掌握上述各部分的基本方法。應(yīng)注意各部分知識(shí)的結(jié)構(gòu)及知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系;應(yīng)具備有一定的抽象思維能力、邏輯推理能力、運(yùn)算能力、空間想象能力;能運(yùn)用基本概念、基本理論和基本方法正確地推理證明。

二、教材

《數(shù)學(xué)分析》(上、下)，歐陽(yáng)光中等，復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系編(第三版)，高等教育出版社。

三、考試內(nèi)容

(一)函數(shù)、極限和連續(xù)

(1)理解函數(shù)的概念。學(xué)會(huì)函數(shù)的定義域、表達(dá)式及函數(shù)值。會(huì)求分段函數(shù)的定義域、函數(shù)值，并會(huì)作出簡(jiǎn)單的分段函數(shù)的圖像。理解和掌握函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、有界性、周期性，會(huì)判斷函數(shù)的類(lèi)型。理解和掌握函數(shù)的四則運(yùn)算與復(fù)合運(yùn)算，熟練掌握復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過(guò)程。掌握基本初等函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)及圖像。掌握初等函數(shù)的概念。會(huì)建立簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)關(guān)系式

(2)理解極限的概念，能根據(jù)極限的概念分析函數(shù)的變化趨勢(shì)。會(huì)求函數(shù)在一點(diǎn)處的左、右極限，理解函數(shù)在一點(diǎn)處極限存在的充分必要條件。理解極限的有關(guān)性質(zhì)，掌握極限的四則運(yùn)算法則。理解無(wú)窮小量、無(wú)窮大量的概念，掌握無(wú)窮小量的性質(zhì)、無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系。會(huì)進(jìn)行無(wú)窮小量的階的比較。會(huì)運(yùn)用等價(jià)無(wú)窮小量代換求極限。熟練掌握用兩個(gè)重要的極限求極限的方法。

(3)理解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)與間斷的概念，掌握判斷函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性，理解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)與極限存在的關(guān)系。會(huì)求函數(shù)的間斷點(diǎn)及確定其類(lèi)型。掌握在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，會(huì)運(yùn)用介值定理推證一些簡(jiǎn)單命題。理解初等函數(shù)在其定義區(qū)間上的連續(xù)性，并會(huì)利用連續(xù)性求極限。

(二)實(shí)數(shù)完備性理論的知識(shí)

了解實(shí)數(shù)系的構(gòu)造理論。理解實(shí)數(shù)完備性定理的各個(gè)定理：區(qū)間套定理 柯西收斂準(zhǔn)則，有限覆蓋定理，聚點(diǎn)定理，確界原理，單調(diào)有界性定理和這些定理的等價(jià)性。理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明。了解實(shí)數(shù)完備性定理在證明數(shù)學(xué)命題中的應(yīng)用。

(三)一元函數(shù)微分學(xué)

(1)理解導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義，可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系，會(huì)運(yùn)用定義求函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)。會(huì)求曲線(xiàn)上一點(diǎn)處的切線(xiàn)方程與法線(xiàn)方程。熟練掌握導(dǎo)數(shù)的基本公式、四則運(yùn)算法則及復(fù)合函數(shù)和反函數(shù)求導(dǎo)方法。掌握隱函數(shù)的求導(dǎo)法、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法以及由參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導(dǎo)方法，會(huì)求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。理解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)。理解函數(shù)和微分概念，掌握微分法則，掌握微分與可導(dǎo)的關(guān)系，會(huì)求一階微分

(2)理解羅爾中值定理、格朗日中值定理、柯西中值定理它們的幾何意義，會(huì)用它們證明根的存在性和簡(jiǎn)單的不等式。熟練掌握用洛必達(dá)法則求“”“”“”“”“”“”型未定式的極限的方法。熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)單調(diào)性及求函數(shù)單調(diào)增、減區(qū)間的方法，會(huì)用函數(shù)的單調(diào)性證明簡(jiǎn)單不等式。理解函數(shù)極值的概念。掌握求函數(shù)的極值和最值的方法，并會(huì)解簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題。會(huì)判斷曲線(xiàn)的凹凸性，會(huì)求曲線(xiàn)的拐點(diǎn)。會(huì)作簡(jiǎn)單函數(shù)的圖形。理解函數(shù)的泰勒公式，泰勒公式的拉格朗日型余項(xiàng)，掌握幾個(gè)基本初等函數(shù)的泰勒公式。

(四)一元函數(shù)積分學(xué)

(1)理解原函數(shù)與不定積分的概念及其關(guān)系，掌握不定積分的性質(zhì)，了解原函數(shù)存在性定理。熟練掌握不定積分的基本公式。熟練掌握不定積分的第一換元法，掌握第二換元法。熟練掌握不定積分的分部積分法。會(huì)求簡(jiǎn)單有理函數(shù)的不定積分。

(2)理解定積分的概念及其幾何意義，掌握定積分的積分和、上和、下和的概念，定積分可積的充分條件、必要條件和充要條件。掌握定積分的基本性質(zhì)。掌握變上限定積分是變上限的函數(shù)，掌握對(duì)變上限定積分的求導(dǎo)方法。掌握牛頓---萊布尼茨公式。掌握定積分的換元積分法和分部積分法。掌握定積分在幾何計(jì)算平面圖形的面積、旋轉(zhuǎn)體的體積、曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)、旋轉(zhuǎn)曲面的面積、和物理上計(jì)算壓力、功、重心等簡(jiǎn)單應(yīng)用。

(五)無(wú)窮級(jí)數(shù)

(1)了解數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念，級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散，級(jí)數(shù)的基本知識(shí)，級(jí)數(shù)收斂的必要條件。熟練掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的比較判別法和比值判別法。了解任意項(xiàng)級(jí)數(shù)、交錯(cuò)級(jí)數(shù)、絕對(duì)收斂、條件收斂的概念。掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂的萊布尼茲判別法，了解阿貝爾和狄里克萊判別法。理解無(wú)窮限反常積分和無(wú)界函數(shù)反常積分的概念及幾何意義。掌握非負(fù)函數(shù)反常積分收斂性的比較判別法。

(2)了解冪級(jí)數(shù)、冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間的概念。了解冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的性質(zhì)(和、差、逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)積分)。掌握冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間的的求法。會(huì)運(yùn)用基本初等函數(shù)的麥克勞林公式將一些簡(jiǎn)單的初等函數(shù)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)。

(六)多元函數(shù)微分學(xué)

了解平面點(diǎn)集，多元函數(shù)的定義，二元函數(shù)的定義域，二元函數(shù)的幾何意義，二元函數(shù)極限，累次極限，二元函數(shù)的連續(xù)性概念，有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。掌握偏導(dǎo)數(shù)、全微分的概念，可微性的幾何意義與應(yīng)用。熟練掌握一階、二階偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，掌握復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分的計(jì)算。掌握方向?qū)��?shù)，梯度的計(jì)算，了解隱函數(shù)定理，掌握隱函數(shù)及隱函數(shù)組的的微分的計(jì)算。掌握平面曲線(xiàn)的切線(xiàn)與法線(xiàn) 空間曲線(xiàn)的切線(xiàn)與法平面 曲面的切平面與法線(xiàn)的方程的計(jì)算。了解二元函數(shù)泰勒公式，熟練掌握二元函數(shù)的無(wú)條件極值的計(jì)算，掌握條件極值的拉格朗日乘數(shù)法。

(七)多元函數(shù)積分學(xué)

了解二重積分的概念、二重積分的可積條件、一般區(qū)域上的二重積分，熟練掌握直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算，掌握二重積分的換元法、含參量積分的導(dǎo)數(shù)。了解三重積分的概念，掌握直角坐標(biāo)下化三重積分為累次積分。了解第一型曲線(xiàn)積分和第一型曲面積分的概念，掌握第一型曲線(xiàn)積分和第一型曲面積分的計(jì)算，了解第二型曲線(xiàn)積分和第二型曲面積分的概念，掌握第二型曲線(xiàn)積分和第二型曲面積分的計(jì)算。了解格林公式，曲線(xiàn)積分與路徑的無(wú)關(guān)性。了解高斯公式，知道斯托克斯公式。