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鄭州輕工業(yè)大學(xué)

2019年碩士研究生入學(xué)考試初試科目考試大綱

常微分方程(科目代碼：821)

本考試大綱適用于報考鄭州輕工業(yè)大學(xué)信息與計算科學(xué)專業(yè)的碩士研究生的入學(xué)考試。

一、考試內(nèi)容及基本要求

1. 初等積分法

(1)基本概念(類型、階、線性，非線性、特解、通解、初始條件、初值問題)

(2)分離變量方程、齊次方程

(3)線性方程、常數(shù)變易法Bernoulli方程

(4)全微分方程與積分因子

(5)其它可積的一階隱式方程與高階方程

基本要求：能辨別方程的類型及特點(diǎn);熟練掌握各類一階微分方程的解法。

2. 微分方程基本理論

(1)存在性與唯一性定理的敘述

(2)解的存在性與唯一性定理(逐次逼近法，壓縮映象原理)

(3)解的延拓(只對定理說明)

(4)奇解與包絡(luò)

(5)解的初始值的連續(xù)相依性

基本要求：理解解的存在唯一性定理，能夠構(gòu)造皮卡序列求近似解。

3. 高階線性微分方程

(1)存在性與唯一性定理的敘述

(2)函數(shù)的線性相關(guān)性、Wronski行列式

(3)n階線性齊次方程與非齊次方程通解結(jié)構(gòu)，Liouville公式，常數(shù)變易法

(4)常系數(shù)線性方程通解求法

(5)Laplace變換

(6)冪級數(shù)解法大意

基本要求：能利用Wronski行列式判別函數(shù)的線性相關(guān)性;了解齊次與非齊次方程解的結(jié)構(gòu);熟練掌握常系數(shù)高階微分方程的解法及利用常數(shù)變易法求特解的方法;了解利用Laplace變換及冪級數(shù)求解方程的方法。

4. 微分方程組

(1)一般概念

(2)向量與矩陣

(3)解的存在性與唯一性定理

(4)線性齊次方程與非齊次方程的解的性質(zhì)，通解結(jié)構(gòu)，常數(shù)變易法

(5)常系數(shù)線性方程組特征方程。

基本要求：熟練掌握常系數(shù)微分方程組求解基解矩陣的方法。

5. 定性與穩(wěn)定性理論簡介

(1) 李雅普諾夫穩(wěn)定性概念

(2)李雅普諾夫直接方法(V函數(shù)、穩(wěn)定、漸近穩(wěn)定、不穩(wěn)定)

基本要求：理解穩(wěn)定性定義;能利用V函數(shù)法判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

二、試卷題型結(jié)構(gòu)

主要題型：填空題(20分)，計算題(100分)，證明題(30分)

三、試卷分值及考試時間

考試時間 180 分鐘，滿分150分。