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• 26考研全科上岸規(guī)劃營(yíng)「擇校▪規(guī)劃▪備考」
• 南開(kāi)大學(xué)2025考研專業(yè)課復(fù)習(xí)資料「真題▪筆記▪講義▪題庫(kù)」

“我叫顧沛，今年72歲，已經(jīng)教了43年的數(shù)學(xué)。”“數(shù)學(xué)，使一些人垂頭喪氣，又讓一些人如醉如癡。”在很多場(chǎng)合，南開(kāi)大學(xué)數(shù)學(xué)教授顧沛的開(kāi)場(chǎng)白，像他往常在數(shù)學(xué)文化課上要求學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述一樣，“要做到準(zhǔn)確、嚴(yán)謹(jǐn)、規(guī)范、完整、簡(jiǎn)潔”。

他頂著一連串“國(guó)”字頭榮譽(yù)：首屆國(guó)家級(jí)教學(xué)名師獎(jiǎng)獲得者，歷任教育部高等學(xué)校數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)教學(xué)指導(dǎo)委員會(huì)副主任、國(guó)家基礎(chǔ)教育課程教材專家工作委員會(huì)委員，曾獲國(guó)家級(jí)教學(xué)成果一等獎(jiǎng)一項(xiàng)、二等獎(jiǎng)三項(xiàng)，是兩項(xiàng)“全國(guó)五一勞動(dòng)獎(jiǎng)狀”的帶頭人，也是首批“國(guó)家級(jí)教學(xué)團(tuán)隊(duì)”的帶頭人……

他開(kāi)設(shè)高等代數(shù)、抽象代數(shù)、數(shù)學(xué)文化、大學(xué)文科數(shù)學(xué)4門本科生課程——每門都被評(píng)為國(guó)家精品課程。其中，數(shù)學(xué)文化課程還被評(píng)為首批國(guó)家精品視頻公開(kāi)課程。

前不久，顧沛為“國(guó)培計(jì)劃(2017)”——專職培訓(xùn)團(tuán)隊(duì)研修項(xiàng)目天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)班(高校班)學(xué)員作了題為“把教學(xué)當(dāng)作一門藝術(shù)”的專題報(bào)告。近兩個(gè)小時(shí)的報(bào)告中，全場(chǎng)氣氛輕松熱烈、互動(dòng)頻繁。“近距離地接觸顧老師，更感覺(jué)到師者的偉大，才真正認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)思維是多么的重要，數(shù)學(xué)語(yǔ)言是多么的嚴(yán)謹(jǐn)而富有美感!”學(xué)員董金茂說(shuō)。

數(shù)學(xué)文化之核心：數(shù)學(xué)之美

顧沛認(rèn)為，數(shù)學(xué)的魅力是需要感悟的。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，將幫助一個(gè)人提高思維品質(zhì)。“在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，不僅要學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)，更要體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)文化。要掌握數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，理解數(shù)學(xué)思維，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)方法，了解數(shù)學(xué)思想，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，逐步學(xué)會(huì)感悟數(shù)學(xué)之美。”

“數(shù)學(xué)文化課是一門文理交融的課程。從狹義上講，‘數(shù)學(xué)文化’是數(shù)學(xué)的思想、精神、方法、觀點(diǎn)、語(yǔ)言，以及它們的形成和發(fā)展;從廣義上講，還包含數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)美、數(shù)學(xué)教育、數(shù)學(xué)發(fā)展中的人文成分、數(shù)學(xué)與各種文化的關(guān)系，等等。”顧沛說(shuō)。

在數(shù)學(xué)文化課上，顧沛常常信手拈來(lái)，用一些淺顯易懂的例子說(shuō)明抽象而深刻的數(shù)學(xué)道理。比如，“一一對(duì)應(yīng)”中的數(shù)學(xué)美，學(xué)生不易理解。于是，他設(shè)計(jì)了“大足石刻千手觀音”的情境，通過(guò)從感性到理性的講解，讓學(xué)生悟出其中的數(shù)學(xué)美。

“重慶附近有個(gè)大足石刻。其中一個(gè)是千手觀音。千手觀音，到底有多少只手呢?往往你第一次數(shù)和第二次數(shù)的結(jié)果是不一樣的，因?yàn)榍�手觀音的手太多了，太亂了，你可能重復(fù)地?cái)?shù)了一只手，也可能漏數(shù)了一只手。”顧沛舉了一位明朝工匠的例子。工匠找來(lái)2000張金箔，一張一張地往觀音的手上貼，既不會(huì)漏掉一只手，也不會(huì)重復(fù)地貼一只手;這樣，貼上的金箔和觀音的手指就產(chǎn)生了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。再數(shù)剩下的金箔，算出貼上的金箔數(shù)，最后的數(shù)字是1007，這就是千手觀音手的數(shù)目。

顧沛的講座中，這樣的例子不勝枚舉。他用“韓信點(diǎn)兵”的故事講解剩余定理，讓學(xué)生看到中國(guó)古代的數(shù)學(xué)成就;用“有無(wú)限個(gè)房間的旅館”客滿后仍然能安排新來(lái)的客人，解釋無(wú)限與有限的根本區(qū)別，讓學(xué)生感悟“無(wú)限”中的數(shù)學(xué)美;用“10秒鐘計(jì)數(shù)”的游戲，逐步引出斐波那契數(shù)列與黃金分割;還以“抓堆”游戲引出“解決關(guān)于自然數(shù)的問(wèn)題”的四點(diǎn)規(guī)律，讓學(xué)生感悟其中的數(shù)學(xué)之美……

盡管已年逾古稀，但顧沛對(duì)傳播“數(shù)學(xué)之美”的事業(yè)一刻也沒(méi)有停歇。不久前，在為天津市南開(kāi)中學(xué)學(xué)生作“英才計(jì)劃”校園宣講時(shí)，他開(kāi)門見(jiàn)山地說(shuō)，當(dāng)今社會(huì)十分重視人才的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，一些企業(yè)招聘考試、高校的自主招生考試，往往也與數(shù)學(xué)素養(yǎng)相關(guān)。“在這些數(shù)學(xué)素養(yǎng)中，蘊(yùn)含并體現(xiàn)著豐富的數(shù)學(xué)之美，就看我們能不能理解它、掌握它，就看我們有沒(méi)有數(shù)學(xué)審美的觀點(diǎn)和思想，就看我們能不能透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，感悟到數(shù)學(xué)之美。”

“這些年，不時(shí)有人問(wèn)我，學(xué)了13年的數(shù)學(xué)，定理、公式，生活中用不上，工作中也從來(lái)沒(méi)用過(guò)，為什么高等數(shù)學(xué)還要設(shè)為必修課，連文科生也不例外?到底數(shù)學(xué)的價(jià)值何在?今天來(lái)到這里，就想?yún)f(xié)助澄清這個(gè)誤解，讓大家對(duì)數(shù)學(xué)不再畏懼。”2015年8月，顧沛還趕了一回“時(shí)髦”，他受邀參加山東衛(wèi)視真人秀節(jié)目《我是先生》，在電視節(jié)目中講授數(shù)學(xué)文化。

節(jié)目中，顧沛以轉(zhuǎn)盤摸彩的游戲?yàn)槔�，深入淺出地講解了如何以“心中有數(shù)”“簡(jiǎn)化和量化”“邏輯推理”為基礎(chǔ)，用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的方法，巧妙地解讀了數(shù)學(xué)文化課的特色和亮點(diǎn)。節(jié)目結(jié)束時(shí)，全場(chǎng)觀眾對(duì)顧沛和他的數(shù)學(xué)文化課報(bào)以熱烈的掌聲。

“數(shù)學(xué)文化課程著重于傳授數(shù)學(xué)思想，其精髓是數(shù)學(xué)知識(shí)與科學(xué)精神的有機(jī)融合，是科學(xué)素質(zhì)教育與人文素質(zhì)教育的有機(jī)融合。”十多年來(lái)，顧沛和他的同事們不遺余力地推廣著這一理念。對(duì)于這群數(shù)學(xué)教師來(lái)說(shuō)，“數(shù)學(xué)文化”早已不僅是一門普通的課程，而是值得為之付出一生的事業(yè)。

數(shù)學(xué)文化之傳播：課堂藝術(shù)

近年來(lái)，包括清華、北大在內(nèi)的180余所高校、60余所中小學(xué)都曾邀請(qǐng)顧沛作數(shù)學(xué)文化報(bào)告。全國(guó)性的各種教改會(huì)議，特邀他作數(shù)學(xué)文化課程方面的報(bào)告，達(dá)20余次。

顧沛熱愛(ài)三尺講臺(tái)。很多學(xué)生說(shuō)：“顧先生站在那，已是一道風(fēng)景。”每次他說(shuō)“下課”時(shí)，學(xué)生們都會(huì)全體鼓掌，向他表示敬意。

每次上課，他都十分重視與學(xué)生的互動(dòng)交流。他有個(gè)口頭禪：“大家可以交頭接耳地討論，一分鐘后舉手回答。”“在這一分鐘內(nèi)，有時(shí)是沒(méi)有學(xué)生舉手的。但不要認(rèn)為這一分鐘是無(wú)用功，其實(shí)學(xué)生正在頭腦內(nèi)展開(kāi)激烈的思考，實(shí)際上每分鐘都是教書(shū)育人。”顧沛說(shuō)。

每到學(xué)期末，顧沛的“半開(kāi)卷考試”更是讓學(xué)生領(lǐng)略了他的教學(xué)藝術(shù)之美。半開(kāi)卷考試與開(kāi)卷考試的區(qū)別，在于允許考生攜帶指定的資料進(jìn)入考場(chǎng)。雖然指定可攜帶資料，但他仍和學(xué)生“約法三章”：一是不能攜帶書(shū)和筆記本進(jìn)考場(chǎng)，只能帶一張A4大小的紙;二是紙的正反兩面可事先寫上內(nèi)容，但不許打印，不許復(fù)印，只能手寫;三是字的顏色只能以藍(lán)色為主，因?yàn)?ldquo;復(fù)印機(jī)是印不出來(lái)藍(lán)色字跡的”。之所以約法三章，是因?yàn)樵陬櫯婵磥?lái)，“數(shù)學(xué)文化課主要考查學(xué)生的能力，考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)文化的理解”。

多年來(lái)，數(shù)學(xué)文化課的選課十分火爆，每次都因人數(shù)過(guò)多需要計(jì)算機(jī)篩選。有的學(xué)生連選三個(gè)學(xué)期均未選上此課，不得已向教務(wù)處老師求情，爭(zhēng)取不通過(guò)計(jì)算機(jī)選課而通過(guò)手選上課。

有一名學(xué)生記錄了上數(shù)學(xué)文化課的多個(gè)“第一次”：“第一次用美學(xué)的眼光來(lái)看待數(shù)學(xué);第一次了解到數(shù)學(xué)在各個(gè)領(lǐng)域所發(fā)揮的重要作用;第一次走進(jìn)數(shù)學(xué)史的長(zhǎng)河，去追隨數(shù)學(xué)家的足跡;第一次體會(huì)到數(shù)學(xué)中濃郁的人文主義精神;第一次知道曾深刻影響人類社會(huì)發(fā)展進(jìn)程的3次數(shù)學(xué)危機(jī)……數(shù)學(xué)文化課向我展示了數(shù)學(xué)極富魅力的一面，不是以往數(shù)學(xué)課上的定理、公式、計(jì)算和題海，而是數(shù)學(xué)的思想、精神和方法。”

從南到北、從春到冬，數(shù)學(xué)文化課還經(jīng)常會(huì)贏得校外追隨者的掌聲。2013年冬天，深圳職業(yè)技術(shù)學(xué)院的幾位干部、教師特意來(lái)南開(kāi)大學(xué)就數(shù)學(xué)文化課“取經(jīng)”。那天，顧沛講的是“類比的思想”。他精彩而富有激情的講解、嚴(yán)謹(jǐn)縝密的推理、融洽的師生互動(dòng)，讓大家不禁嘆服，“顧老師的課讓人如沐春風(fēng)，聽(tīng)后意猶未盡”。青年教師劉志勇說(shuō)：“當(dāng)老師就應(yīng)該如顧老師這樣充滿熱情，熱愛(ài)教學(xué)，全情投入。”

回校以后，為了讓更多師生了解數(shù)學(xué)文化、認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)文化，深圳職業(yè)技術(shù)學(xué)院又于2014年邀請(qǐng)顧沛到校進(jìn)行講座，向全校師生推廣和普及數(shù)學(xué)文化。同年，他們也在全校開(kāi)設(shè)了數(shù)學(xué)文化通識(shí)課程，并于2017年在商務(wù)印書(shū)館出版了一部高職類的數(shù)學(xué)文化教材。如今，當(dāng)年的青年教師劉志勇已成為該校數(shù)學(xué)文化課的領(lǐng)頭人。

談及從教40余年的感悟，顧沛深有體會(huì)：“一個(gè)教師如果既把教學(xué)當(dāng)作職業(yè)去恪守，又把教學(xué)當(dāng)作事業(yè)去熱愛(ài)，還把教學(xué)當(dāng)作科學(xué)和藝術(shù)去追求，那么，境界高了，教學(xué)效果也一定會(huì)更好。”

數(shù)學(xué)文化之靈魂：素養(yǎng)教育

師者，所以傳道授業(yè)解惑也。在顧沛看來(lái)，“傳道”是第一位的，只知道授業(yè)解惑的老師，充其量是經(jīng)師。古人說(shuō)“經(jīng)師易得，人師難求”，好教師不能僅僅是句讀之師，更要是人師。

顧沛特別關(guān)心學(xué)生，特別是那些遇到困難的學(xué)生。1989級(jí)數(shù)學(xué)試點(diǎn)班學(xué)生孫文昌在讀大學(xué)時(shí)差幾分沒(méi)考過(guò)英語(yǔ)四級(jí)，按規(guī)定不能正常畢業(yè)。一連幾天，顧沛跑到教務(wù)處“求情”：“文昌是個(gè)學(xué)數(shù)學(xué)的苗子!”一番努力之下，學(xué)校破格允許他免試留校讀研，條件是下一年考過(guò)英語(yǔ)四級(jí)。

后來(lái)，孫文昌順利完成博士階段的學(xué)習(xí)，之后在陳省身數(shù)學(xué)研究所從事博士后研究，并獲中國(guó)博士后科學(xué)基金一等資助金。

博士后出站后，孫文昌留校任教，于2002年晉升教授，先后獲微軟青年教授獎(jiǎng)、天津市青年科技獎(jiǎng)、天津市自然科學(xué)一等獎(jiǎng)、國(guó)務(wù)院政府特殊津貼和國(guó)家杰出青年科學(xué)基金。“如果沒(méi)有顧老師的關(guān)心，我肯定不會(huì)有今天的成績(jī)。特別感謝顧老師給我不一樣的人生。”孫文昌說(shuō)。

從2015年秋季開(kāi)始，南開(kāi)大學(xué)“數(shù)學(xué)文化”公共選修課以“慕課”(MOOC)的形式開(kāi)展線上、線下相結(jié)合的教學(xué)。線上，學(xué)生自主安排時(shí)間在“中國(guó)大學(xué)MOOC”平臺(tái)學(xué)習(xí)，觀看顧沛的《數(shù)學(xué)文化十講》教學(xué)視頻，完成課堂作業(yè)、參與在線討論;線下，學(xué)生按照課表在教室上見(jiàn)面課，師生互動(dòng)、加深、拓展線上學(xué)習(xí)內(nèi)容，完成課堂練習(xí)。

最近的一次數(shù)學(xué)文化課上，學(xué)生鄒文俊就在演講中當(dāng)了一次“先生”。在與顧沛討論幾次后，一個(gè)頗具吸引力的演講題目出爐：圍棋棋盤為什么有十九路?通過(guò)查閱史料，鄒文俊發(fā)現(xiàn)最初的圍棋棋盤并不是十九路的，“這就說(shuō)明當(dāng)今圍棋棋盤是十九路必有它的合理性”，循著這樣的思路，鄒文俊展開(kāi)了進(jìn)一步研究。

試講時(shí)，顧沛幫他反復(fù)修改提綱，并提出很多中肯的意見(jiàn)。“演講者要站在聽(tīng)眾的角度，讓聽(tīng)眾更容易理解”“做課件時(shí)，背景與字體顏色的反差要明顯，要用不同顏色的字體突出重點(diǎn)”，這些話像烙印一樣，深深地印在鄒文俊的腦海中。

實(shí)際上，雖然上臺(tái)演講只有十幾分鐘，但演講前的試講交流，顧沛和學(xué)生往往至少要花費(fèi)一個(gè)半小時(shí)。“怎么突出重點(diǎn)，怎么淺顯易懂，怎么讓更多的學(xué)生受益、學(xué)有收獲，這些都要具體指導(dǎo)。”顧沛說(shuō)。

令鄒文俊印象更深的是，試講時(shí)，顧沛還針對(duì)演講中“所占目數(shù)”“目效率”等許多專用名詞的定義與解釋和他討論了很久，還建議他在演講中加入一些提問(wèn)與互動(dòng)過(guò)程，并且對(duì)課件中的一些概念、定義等作好備注，使用一些圖解說(shuō)明，讓聽(tīng)眾感覺(jué)通俗易懂、深入淺出。

當(dāng)演講正式開(kāi)始，鄒文俊由圍棋的歷史引入，并學(xué)著顧沛的樣子：“給大家一分鐘思考：為什么圍棋棋盤是十九路的……”正因?yàn)闇?zhǔn)備充分，鄒文俊的演講十分從容、成功。

“有句話叫‘灌滿這桶水’，還有句話是‘點(diǎn)燃這把火’。”顧沛這樣總結(jié)自己的“育人經(jīng)”，“前者說(shuō)的是知識(shí)的傳授，后者說(shuō)的是育人，引起學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，讓他們能夠全面學(xué)習(xí)、可持續(xù)地學(xué)習(xí)、終身學(xué)習(xí)，在學(xué)習(xí)中學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)。”

“數(shù)學(xué)文化課的主要目的是改善學(xué)生思維品質(zhì)，提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)。而且，好教師要做學(xué)生學(xué)習(xí)的設(shè)計(jì)者、引導(dǎo)者、啟發(fā)者、指導(dǎo)者、合作者，成為學(xué)生學(xué)習(xí)的伙伴。”顧沛是這樣說(shuō)的，更是這樣做的。