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《近世代數(shù)基礎(chǔ)》大綱要點

第一章基本概念

1、理解集合、映射、一一映射、滿射、單射的概念;掌握代數(shù)運算與映射的關(guān)系，能判斷給定的運算能否滿足結(jié)合律、交換律以及兩種分配律。

2、掌握同態(tài)映射、同構(gòu)映射和自同構(gòu)的概念，能判定映射是否是同態(tài)與同構(gòu)映射，能建立兩個集合之間的同態(tài)與同構(gòu)映射。

3、理解關(guān)系和等價關(guān)系的概念，掌握等價關(guān)系和分類之間的轉(zhuǎn)換定理，能熟練判定給定的關(guān)系是否是等價關(guān)系，并熟悉剩余類的基本特性。

重點掌握——代數(shù)運算、變換、同態(tài)、同構(gòu)、自同構(gòu)概念，理解等價關(guān)系與集合分類之間的關(guān)系。

第二章群論

1、理解群的幾種不同定義，理解左、右單位元與左、右逆元的意義，掌握群的階和交換群的概念;會計算群元素的周期。

2、理解群同構(gòu)、同態(tài)的定義，掌握群同態(tài)的有關(guān)性質(zhì);掌握循環(huán)群的定義和由生成元決定循環(huán)群的性質(zhì)與特點，熟練掌握剩余類加群。

3、熟練掌握變換的符號運用和變換乘法，了解變換群的定義、性質(zhì);理解置換與置換群的定義、性質(zhì)與運算，理解有限群與置換群的同構(gòu)關(guān)系;理解子群的定義與判定。

4、掌握陪集的定義;理解不變子群與商群的定義;理商群階的意義及其應(yīng)用;了解核的定義;掌握兩個具有同態(tài)關(guān)系的群之間子群或不變子群的象的性質(zhì)。

重點掌握——群的幾種不同定義;變換群、置換群、循環(huán)群的結(jié)構(gòu);深刻理解子群、不變子群、商群、同態(tài)、同構(gòu)等概念及它們之間的相互關(guān)系。

第三章環(huán)與域

1、熟悉環(huán)的定義與環(huán)的計算規(guī)則;熟悉單位元、逆元和零因子的性質(zhì);掌握消去律與零因子的關(guān)系;理解交換環(huán)、有單位元環(huán)、無零因子環(huán)、整環(huán)、除環(huán)、域的定義以及除環(huán)與加群、乘群的關(guān)系;熟悉無零因子環(huán)中的計算規(guī)則，掌握無零因子環(huán)中特征的性質(zhì)。

2、了解子環(huán)、子除環(huán)的定義;了解同態(tài)、同構(gòu)環(huán)之間的性質(zhì);了解多項式環(huán)，熟悉多項式環(huán)中的未定元、次數(shù)以及系數(shù)、無關(guān)未定元的作用。

3、理解理想子環(huán)、零理想、單位理想和主理想的構(gòu)成與判斷;理解剩余類環(huán)的定義與性質(zhì);了解在同態(tài)映射下兩個環(huán)相互之間的關(guān)系，理解什么是最大理想;了解商域的構(gòu)成。

重點掌握——環(huán)、理想、最大理想等概念;掌握多項式環(huán)、無零因子環(huán)、環(huán)的特征等概念，并能熟練地加以應(yīng)用。

第四章整環(huán)里的因子分解

1、了解整除，單位、相伴元和平凡因子、真因子、素元的概念;掌握唯一分解的定義、性質(zhì)以及公因子、最大公因子的概念;了解互素的概念;理解判別唯一分解環(huán)的方法。

2、理解主理想環(huán)、歐氏環(huán)的定義;理解歐氏環(huán)、整數(shù)環(huán)、主理想環(huán)與唯一分解環(huán)的關(guān)系;知道本原多項式的定義與性質(zhì);了解多項式的根和性質(zhì)。

重點掌握——環(huán)里的因子分解、熟練掌握唯一分解環(huán)、主理想環(huán)、歐氏環(huán)。

參考教材

1、張禾瑞，《近世代數(shù)基礎(chǔ)》，人民教育出版社，1978年修訂本。

2、吳品三，《近世代數(shù)》，人民教育出版社，1979年。