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《高等代數(shù)》考試大綱

(一)多項式理論

一元多項式的整除性、帶余除法、最大公因式、互素多項式、不可約多項式、多項式的因式分解、重因式等基本概念及其性質(zhì);多項式函數(shù);多項式的根(重根)與它的一次因式(重因式)間的關(guān)系;多項式是否有重因式的判別法; 實、復(fù)系數(shù)多項式的不可約多項式的形式及標(biāo)準(zhǔn)分解式的形式;有理系數(shù)多項式的不可約判定及求整系數(shù)多項式的有理根等基本方法。

(二)行列式

n級排列的逆序數(shù)、對換、奇偶性;n階行列式的定義、性質(zhì);行列式的子式、代數(shù)余子式及展開定理;行列式的計算方法;克萊姆法則;Vandermonde行列式;

(三)線性方程組

n維向量空間;n維向量組的線性相關(guān)性;n維向量組的秩、向量組的等價，矩陣的秩等基本概念及性質(zhì);

Gauss消元法;線性方程組有解的判定定理;線性方程組解的結(jié)構(gòu)(括齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系定義、求法)。

(四)矩陣

矩陣的運算及性質(zhì);矩陣的秩;矩陣的初等變換與初等矩陣;矩陣在初等變換下的標(biāo)準(zhǔn)形;矩陣的逆、伴隨陣、線性方程組的矩陣形式;行列式乘積定理;;分塊矩陣;分塊矩陣運算;矩陣和轉(zhuǎn)置、對角陣、三角陣、矩陣單位;矩陣的跡、方陣的多項式;

(五)二次型

二次型的矩陣表示;二次型的標(biāo)準(zhǔn)形與合同變換;復(fù)數(shù)域與實數(shù)域上二次型的標(biāo)準(zhǔn)形、規(guī)范形;慣性定理;實二次型、實對稱矩陣正定的充分必要條件;

(六)線性空間

線性空間的概念;一些重要的線性空間實例，基、維數(shù)與坐標(biāo);基變換與坐標(biāo)變換;

(七)線性變換

線性映射與線性變換的概念、運算;線性變換的矩陣表示;線性變換(矩陣)的特征多項式、特征值與特征向量;線性變換的值域與核;特征子空間;線性變換的不變子空間;線性變換的矩陣為對角矩陣的充要條件，線性變換及矩陣的最小多項式;

(八)λ-矩陣

λ-矩陣在初等變換下的標(biāo)準(zhǔn)形、不變因子、行列式因子;矩陣相似的條件;數(shù)字矩陣或線性變換的不變因子、初等因子、Jordan標(biāo)準(zhǔn)形 。

(九)歐氏空間

向量內(nèi)積;歐氏空間的概念及性質(zhì)，度量矩陣;向量的長度、夾角、正交、距離，柯西一布涅科夫斯基不等式;標(biāo)準(zhǔn)正交基;歐氏空間的子空間的正交補，歐氏空間的同構(gòu);歐氏空間的正交變換與對稱變換，對稱變換與實對稱矩陣用正交變換化實對稱矩陣為對角陣的方法。