數(shù)學(xué)碩士研究生入學(xué)考試《數(shù)學(xué)分析》考試大綱

考試科目名稱：《數(shù)學(xué)分析》 科目代碼：601

適用專業(yè)：0701數(shù)學(xué)(一級學(xué)科)

一、考試形式與試卷結(jié)構(gòu)

(一)試卷總分及考試時(shí)間

本試卷總分為150分，考試時(shí)間為180分鐘。

(二)考試形式

答題方式為閉卷。

(三)試卷題型結(jié)構(gòu)

試卷題型主要包括：計(jì)算題、討論題、解答題、證明題和綜合題等。

二、考查目標(biāo)

要求考生系統(tǒng)地理解數(shù)學(xué)分析課程的基本概念和基本定理，掌握數(shù)學(xué)分析的基本思維和論證方法，能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)分析的基本理論分析和解決相關(guān)問題。

三、考試內(nèi)容概要

本課程考核內(nèi)容包括極限理論、實(shí)數(shù)完備性、一元函數(shù)微分學(xué)和積分學(xué)、多元函數(shù)微分學(xué)與積分學(xué)、級數(shù)理論等。主要章節(jié)內(nèi)容及要求如下：

第一章　實(shí)數(shù)集與函數(shù)

1.了解鄰域，上確界、下確界的概念和確界原理。

2.掌握函數(shù)復(fù)合、基本初等函數(shù)、初等函數(shù)及常用特性

(單調(diào)性、周期性、奇偶性、有界性等)。

3.掌握基本初等不等式及應(yīng)用。

第二章　數(shù)列極限

1.熟練掌握數(shù)列極限的ε-N定義。

2.掌握收斂數(shù)列的常用性質(zhì)。

3.熟練掌握數(shù)列收斂的判別條件

(單調(diào)有界原理、迫斂性定理、Cauchy準(zhǔn)則、壓縮映射原理、Stolz變換等)。

4.能夠熟練求解各類數(shù)列的極限。

第三章 函數(shù)極限

1.深刻領(lǐng)會函數(shù)極限的“ε-δ”定義及其它變式。

2.熟練掌握函數(shù)極限存在的條件及判別

(歸結(jié)原則，柯西準(zhǔn)則，左、右極限，單調(diào)有界等)。

3.熟練應(yīng)用兩個(gè)重要極限求解較復(fù)雜的函數(shù)極限。

4.理解無窮小量、無窮大量的概念;會應(yīng)用等價(jià)無窮小求極限;熟悉等價(jià)無窮小、同階無窮小、高階無窮小及其性質(zhì)。

第四章　函數(shù)連續(xù)性

1.掌握函數(shù)在某點(diǎn)及在區(qū)間上連續(xù)的幾種等價(jià)定義，尤其是ε-δ定義。

2.熟悉函數(shù)間斷點(diǎn)及類型。

3.熟練掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的三大性質(zhì)及其應(yīng)用。

4.熟練掌握區(qū)間上一致連續(xù)函數(shù)的定義、判斷和應(yīng)用。

5.知道初等函數(shù)的連續(xù)性。

第五章　導(dǎo)數(shù)和微分

1.掌握導(dǎo)數(shù)的定義、幾何意義，領(lǐng)悟其思想內(nèi)涵;熟悉單邊導(dǎo)數(shù)概念及應(yīng)用。

2.掌握求導(dǎo)四則運(yùn)算法則、熟記基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

3.熟練掌握復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t。

4.掌握參量函數(shù)、隱函數(shù)的求導(dǎo)法、對數(shù)求導(dǎo)法。

5.熟練掌握乘積函數(shù)求導(dǎo)的Leibniz公式。

6.掌握微分的概念，領(lǐng)悟其思想內(nèi)涵;并會用微分進(jìn)行近似計(jì)算。

7.熟練掌握復(fù)合函數(shù)微分及一階微分形式不變性。

8.理解連續(xù)、可導(dǎo)、可微之間的關(guān)系。

9.熟練掌握高階導(dǎo)數(shù)的各種求解方法。

第六章　微分中值定理及其應(yīng)用

1.熟練掌握微分中值定理及其應(yīng)用，會證明中值點(diǎn)

的存在性問題。

 

2.熟練運(yùn)用洛必達(dá)法則求極限。

3.熟練掌握單調(diào)區(qū)間、極值、最值的求法。

4.熟練掌握Taylor公式思想、方法及應(yīng)用。

5.掌握曲線的凹凸性及拐點(diǎn)的求法，并掌握凸函數(shù)及性質(zhì)。

6.熟練應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性、凹凸性等等工具證明函數(shù)不等式。

第七章　實(shí)數(shù)完備性

1.了解區(qū)間套、覆蓋、有限覆蓋、聚點(diǎn)等等的含義。

2.掌握實(shí)數(shù)完備性各定理的具體內(nèi)容，領(lǐng)悟其證明的思想內(nèi)涵。實(shí)數(shù)完備性構(gòu)成數(shù)學(xué)分析的理論核心。

3.掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)有界性、最值性、介值性、一致連續(xù)性定理的證明。

4.理解上極限、下極限的概念和等價(jià)敘述。

第八章　不定積分

1.知道原函數(shù)與不定積分的概念。

2.熟練掌握換元法、分部積分法。

3.會計(jì)算有理函數(shù)的積分。

4.會計(jì)算三角函數(shù)有理式、某些簡單無理式的積分。

第九章　定積分

1.深刻領(lǐng)會定積分的定義和性質(zhì)。

2.深刻理解微積分基本定理，并會熟練應(yīng)用。

3.熟練掌握換元法、分部積分法計(jì)算定積分。

4.知道可積條件和可積類。

第十章 定積分的應(yīng)用

1.熟練掌握平面圖形面積的計(jì)算。

2.熟練掌握旋轉(zhuǎn)體或已知截面面積的體積。

3.會利用定積分求孤長、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積。

第十一章　反常積分

1.了解反常積分收斂性定義。

2.熟練掌握反常積分?jǐn)可⑿耘袆e法(Cauchy、Abel、Dirichlet三大判別法)，重點(diǎn)在無窮積分。

第十二章 數(shù)項(xiàng)級數(shù)

1.知道級數(shù)收斂和發(fā)散的定義、性質(zhì)。

2.熟練掌握正項(xiàng)級數(shù)收斂的各種判別法

(比較判別法、比式判別法、根式判別法、拉貝判別法、積分判別法等)。

3.熟練掌握條件收斂、絕對收斂及Leibniz、Abel、Dirichlet三大判別法。

4.理解條件收斂、絕對收斂級數(shù)的特殊性質(zhì)。

第十三章　函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級數(shù)

1.深刻理解函數(shù)列、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一致收斂的ε-N定義。

2.熟練掌握函數(shù)列、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一致收斂的判別法。

3.熟練掌握一致收斂函數(shù)列和一致收斂函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的性質(zhì)。

第十四章　冪級數(shù)

1.掌握冪級數(shù)收斂域、收斂半徑以及和函數(shù)的求法，知道冪級數(shù)的若干性質(zhì)。

2.熟練掌握函數(shù)的冪級數(shù)展開的方法。

3.會求冪級數(shù)的和函數(shù)及某些數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和。

第十五章　傅里葉級數(shù)

1.熟記以

周期的付里葉系數(shù)公式，會求函數(shù)的傅里葉展式。

 

2.掌握余弦級數(shù)，正弦級數(shù)的求法。

3.理解收斂性定理，掌握Bessel不等式、Lebesgue引理等幾個(gè)重要定理。

4.知道Parseval等式并運(yùn)用其求某些數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和。

第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)

1.了解平面點(diǎn)集的若干概念、平面點(diǎn)集的完備性定理。

2.掌握二元函數(shù)之二重極限、二次極限的定義和計(jì)算。

3.掌握二元函數(shù)連續(xù)性及其性質(zhì)。

第十七章　多元函數(shù)微分學(xué)

1.掌握全微分和偏導(dǎo)數(shù)的概念、了解其幾何性質(zhì)。

2.會計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)和全微分，會計(jì)算高階偏導(dǎo)數(shù)(尤其是二階偏導(dǎo)數(shù))。

3.熟練掌握多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t、理解一階全微分形式不變性。

4.掌握二元函數(shù)連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)、可微、可偏導(dǎo)之間的多角關(guān)系。

5.知道二元函數(shù)中值定理與Taylor公式。

6.熟練掌握多元函數(shù)極值、最值的求解方法，并會運(yùn)用于解決實(shí)際問題。

7.了解方向?qū)��?shù)與梯度及其幾何、物理意義。

第十八章　隱函數(shù)定理及其應(yīng)用

1.理解隱函數(shù)(組)定理。

2.會求隱函數(shù)(組)的微分。

3.會求空間曲線的切線與法平面，會求空間曲面的切平面與法線。

4.熟練掌握條件極值的Lagrange乘數(shù)法。

第十九章　含參量積分

1.掌握含參量正常積分的定義及性質(zhì)。

2.熟練掌握含參量反常積分一致收斂定義、判別法。

3.熟練掌握一致收斂含參量反常積分的性質(zhì)(連續(xù)性、可導(dǎo)性、可積性)。

4.掌握Euler積分并用于計(jì)算某些反常積分;掌握用積分號下求導(dǎo)數(shù)等方法計(jì)算某些積分和反常積分。

第二十章　曲線積分

1.理解第一、二型曲線積分的概念及物理意義。

2.熟練掌握兩型曲線積分的基本參數(shù)計(jì)算公式。

3.熟練掌握格林公式。

4.掌握第二型曲線積分與路徑無關(guān)的條件，會求全微分式的原函數(shù)。

第二十一章 重積分

1.知道二重積分、三重積分定義與性質(zhì)，理解分割、求和、取極限三部曲內(nèi)涵。

2.熟練掌握二重積分、三重積分的直角坐標(biāo)計(jì)算---化為累次積分。

3.熟練掌握二重積分、三重積分的變量替換。重點(diǎn)是極坐標(biāo)變換、柱坐標(biāo)變換球坐標(biāo)變換及廣義球坐標(biāo)變換。

4.知道重積分幾何應(yīng)用，會求曲面面積、重心坐標(biāo)等。

第二十二章　曲面積分

1. 理解第一、二型曲面積分的概念及物理意義;了解兩種曲面積分的轉(zhuǎn)換關(guān)系。

2. 掌握兩型曲面積分的直角坐標(biāo)計(jì)算公式。

3. 熟練掌握Gauss公式和Stokes公式。

參考教材：

1.數(shù)學(xué)分析(上、下冊)第五版，華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，北京:高等教育出社,2019。

2.數(shù)學(xué)分析教程(上、下)(第三版)，常庚哲，史濟(jì)懷，合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2012。