從海南師范大學(xué)研究生院獲悉，2022年海南師范大學(xué)808高等代數(shù)考研大綱及參考書目內(nèi)容如下

海南師范大學(xué)全國碩士研究生招生自命題考試大綱

考試科目代碼：[808]              考試科目名稱：高等代數(shù)

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主要參考書目

1. 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系前代數(shù)小組編. 高等代數(shù).高等教育出版社，2019年5月（第五版）。

一、考試形式與試卷結(jié)構(gòu)

（一）試卷成績及考試時(shí)間

本試卷滿分為150分，考試時(shí)間為180分鐘。

（二）答題方式

答題方式為閉卷、筆試。

試卷由試題和答題紙組成；答案必須寫在答題紙（由考點(diǎn)提供）相應(yīng)的位置上。

（三）試卷結(jié)構(gòu)

計(jì)算題；證明題；綜合題等

二、考試目標(biāo)：

1.掌握高等代數(shù)的基本概念和基礎(chǔ)知識(shí)。

2.理解高等代數(shù)的基本理論和基本方法。

3.運(yùn)用高等代數(shù)的理論和方法分析、解決相關(guān)的實(shí)際問題。

三、考試范圍：

第一章、一元多項(xiàng)式

1.考試內(nèi)容：數(shù)域；一元多項(xiàng)式；整除的概念；最大公因式；；因式分解定理；重因式；多項(xiàng)式函數(shù)；復(fù)系數(shù)與實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解；有理系數(shù)多項(xiàng)式。

2.考試要求

（1） 掌握數(shù)域的定義,并會(huì)判斷一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)是否是數(shù)域。

（2） 正確理解數(shù)域P上一元多項(xiàng)式的定義,多項(xiàng)式相乘,次數(shù),一元多項(xiàng)式環(huán)等概念。掌握多項(xiàng)式的運(yùn)算及運(yùn)算律。

（3）正確理解整除的定義,熟練掌握帶余除法及整除的性質(zhì)。

（4）正確理解和掌握兩個(gè)(或若干個(gè))多項(xiàng)式的最大公因式,互素等概念及性質(zhì)。能用輾轉(zhuǎn)相除法求兩個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式。

（5）正確理解和掌握不可約多項(xiàng)式的定義及性質(zhì)。深刻理解并掌握因式分解及唯一性定理。掌握標(biāo)準(zhǔn)分解式。

（6）正確理解和掌握k重因式的定義。

（7）掌握多項(xiàng)式函數(shù)的概念,余數(shù)定理,多項(xiàng)式的根及性質(zhì)。正確理解多項(xiàng)式與多項(xiàng)式函數(shù)的關(guān)系。

（8）理解代數(shù)基本定理。熟練掌握復(fù)（實(shí)）系數(shù)多項(xiàng)式分解定理及標(biāo)準(zhǔn)分解式。

（9）深刻理解有理系數(shù)多項(xiàng)式的分解與整系數(shù)多項(xiàng)式分解的關(guān)系。掌握本原多項(xiàng)式的定義、高斯引理、整系數(shù)多項(xiàng)式的有理根的性質(zhì)、Eisenstein判別法。

3.重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：整除概念、帶余除法及整除的性質(zhì)、最大公因式、互素、輾轉(zhuǎn)相除法、不可約多項(xiàng)式概念、性質(zhì)、因式分解及唯一性定理、k重因式與k重根的關(guān)系、復(fù)（實(shí)）系數(shù)多項(xiàng)式分解定理、本原多項(xiàng)式、Eisenstein判別法。

難點(diǎn): 整除理論；多項(xiàng)式的因式分解理論。

第二章、行列式

1.考試內(nèi)容：排列；n級(jí)行列式；n級(jí)行列式的性質(zhì)；行列式的計(jì)算；行列式按一行（列）展開；克蘭姆法則。

2.考試要求

（1）理解并掌握排列、逆序、逆序數(shù)、奇偶排列的定義。掌握排列的奇偶性與對(duì)換的關(guān)系。

（2）深刻理解和掌握n級(jí)行列式的定義,能用定義計(jì)算一些特殊行列式。

（3）熟練掌握行列式的基本性質(zhì)。

（4）正確理解矩陣、矩陣的行列式、矩陣的初等變換等概念，能利用行列式性質(zhì)計(jì)算一些簡單行列式。

（5）正確理解元素的余子式、代數(shù)余子式等概念。熟練掌握行列式按一行（列）展開的公式。掌握“化三角形法”，“遞推降階法”，“數(shù)學(xué)歸納法”等計(jì)算行列式的技巧。

（6）熟練掌握克萊姆(Cramer)法則。

3.重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：n級(jí)行列式的定義、行列式的基本性質(zhì)、矩陣、矩陣的行列式、矩陣的初等變換、行列式按一行（列）展開的公式、克萊姆(Cramer)法則。

難點(diǎn)：行列式的計(jì)算。

第三章、線性方程組

1.考試內(nèi)容：消元法；n維向量組；線性相關(guān)性；矩陣的秩；線性方程組有解判別定理；線性方程組解的結(jié)構(gòu)。

2.考試要求

（1）正確理解和掌握一般線性方程組,方程組的解,增廣矩陣，線性方程組的初等變換等概念及性質(zhì)。掌握階梯形方程組的特征及作用。會(huì)求線性方程組的一般解。

（2）理解和掌握n維向量及兩個(gè)n維向量相等的定義。熟練掌握向量的運(yùn)算。深刻理解n維向量空間的概念。

（3）正確理解和掌握線性組合、線性相關(guān)、線性無關(guān)的定義及性質(zhì)。掌握兩個(gè)向量組等價(jià)的定義及等價(jià)性質(zhì)定理。深刻理解向量組的極大無關(guān)組、秩的定義，會(huì)求向量組的一個(gè)極大無關(guān)組。

（4）深刻理解和掌握矩陣的行秩、列秩、秩的定義。掌握矩陣的秩與其子式的關(guān)系。

（5）熟練掌握線性方程組的有解判別定理。理解和掌握線性方程組的公式解。

（6）正確理解和掌握齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系,解空間的維數(shù)與概念。熟練掌握基礎(chǔ)解系的求法、線性方程組的結(jié)構(gòu)定理。會(huì)求一般線性方程組有解的全部解。

3.重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：線性方程組的初等變換、求線性方程組的一般解、n維向量、線性組合、線性相關(guān)、線性無關(guān)、兩個(gè)向量組等價(jià)、極大無關(guān)組、向量組的秩、求向量組的一個(gè)極大無關(guān)組、矩陣的秩、線性方程組的有解判別定理、線性方程組的公式解、齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系、基礎(chǔ)解系的求法、線性方程組的結(jié)構(gòu)定理、求一般線性方程組有解的全部解。

難點(diǎn)：線性相關(guān)性。

第四章、矩陣

1.考試內(nèi)容：矩陣的概念；矩陣的運(yùn)算；矩陣乘積的行列式與秩；矩陣的逆；矩陣的分塊；初等矩陣；分塊矩陣的初等變換。

2.考試要求

(1) 了解矩陣概念產(chǎn)生的背景。

(2) 掌握矩陣的加法、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置等運(yùn)算及其計(jì)算規(guī)律。

(3) 掌握矩陣乘積的行列式定理，矩陣乘積的秩與它的因子的秩的關(guān)系。

(4) 正確理解和掌握可逆矩陣、逆矩陣、伴隨矩陣等概念，掌握一個(gè)n級(jí)方陣可逆的充要條件和用公式法求一個(gè)矩陣的逆矩陣。

(5) 理解分塊矩陣的意義，掌握分塊矩陣的加法、乘法的運(yùn)算及性質(zhì)。

(6) 正確理解和掌握初等矩陣、初等變換等概念及其它們之間的關(guān)系，熟練掌握一個(gè)矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形和矩陣可逆的充要條件；會(huì)用初等變換的方法求一個(gè)方陣的逆矩陣。

(7) 理解分塊乘法的初等變換和廣義初等矩陣的關(guān)系，會(huì)求分塊矩陣的逆。

3.重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：矩陣的運(yùn)算、矩陣乘積的行列式定理、矩陣乘積的秩與它的因子的秩的關(guān)系、可逆矩陣、逆矩陣、伴隨矩陣、n階方陣可逆的充要條件、用公式法求逆矩陣、分塊矩陣的意義及運(yùn)算、初等矩陣、用初等變換的方法逆矩陣、分塊矩陣的逆。

難點(diǎn)：可逆矩陣及求逆矩陣。

第五章、二次型

1.考試內(nèi)容：二次型的矩陣表示；標(biāo)準(zhǔn)形；唯一性；正定二次型。

2.考試要求

(1)　正確理解二次形和非退化線性替換的概念；掌握二次型的矩陣表示及二次型與對(duì)稱矩陣的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系；掌握矩陣的合同概念及性質(zhì)。

(2)　理解二次型的標(biāo)準(zhǔn)形，掌握化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型的方法（配方法、初等變換法）。

(3) 正確理解復(fù)數(shù)域和實(shí)數(shù)域上二次型的規(guī)范性的唯一性；掌握慣性定理。

(4) 正確理解正定、半正定、負(fù)定二次型及正定、半正定矩陣等概念；熟練掌握正定二次型及半正定二次型的等價(jià)條件。

3.重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：非退化線性替換、二次型的矩陣、二次型與其矩陣的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系、矩陣的合同、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型、復(fù)數(shù)域和實(shí)數(shù)域上二次型的規(guī)范形的唯一性、慣性定理、正定二次型的判別條件、半正定二次型的等價(jià)條件。

難點(diǎn)：實(shí)數(shù)域上二次型的規(guī)范形及正定二次型。

第六章、線性空間

1.考試內(nèi)容：集合與映射；線性空間的定義與簡單性質(zhì)；維數(shù)，基與坐標(biāo)；基變換與坐標(biāo)變換；線性子空間；子空間的交與和；子空間的直和；線性空間的同構(gòu)。

2.考試要求

(1)　掌握映射、單射、滿射（映上的映射）、一一映射、逆映射等概念。

(2)　正確理解和掌握線性空間的定義及性質(zhì)；會(huì)判斷一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)是否是線性空間。

(3)　理解線性組合、線性表示、線性相關(guān)、線性無關(guān)等概念；正確理解和掌握n維線性空間的概念及性質(zhì)。

(4)　正確理解和掌握基變換與坐標(biāo)變換的關(guān)系。

(5)　正確理解線性子空間的定義及判別定理；掌握向量組生成子空間的定義及等價(jià)條件。

(6)　掌握子空間的交與和的定義及性質(zhì)；熟練掌握維數(shù)公式。

(7)　深刻理解子空間的直和的概念及和為直和的充要條件。

(8)　理解和掌握線性空間同構(gòu)的定義、性質(zhì)及兩個(gè)有限維空間同構(gòu)的充要條件。

3.重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：線性空間、判斷一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)是否是線性空間、n維線性空間的概念及性質(zhì)、基變換與坐標(biāo)變換的關(guān)系、線性子空間的定義及判別定理、向量組生成子空間的定義及等價(jià)條件、子空間的交與和、維數(shù)公式、子空間的直和、線性空間同構(gòu)的定義、性質(zhì)及兩個(gè)有限維空間同構(gòu)的充要條件。

難點(diǎn)：線性空間的概念；子空間的直和。

第七章、線性變換

1.考試內(nèi)容：線性變換的定義；線性變換的運(yùn)算；線性變換的矩陣；特征值與特征向量；對(duì)角矩陣；線性變換的值域與核；不變子空間； 最小多項(xiàng)式。

2.考試要求

(1)　理解和掌握線性變換的定義及性質(zhì)。

(2)　掌握線性變換的運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)律，理解線性變換的多項(xiàng)式。

(3)　深刻理解和掌握線性變換與矩陣的聯(lián)系；掌握矩陣相似的概念和線性變換在不同基下的矩陣相似等性質(zhì)。

(4)　理解和掌握矩陣的特征值、特征向量、特征多項(xiàng)式的概念和性質(zhì)；會(huì)求一個(gè)矩陣的特征值和特征向量；掌握相似矩陣與它們的特征多項(xiàng)式的關(guān)系及哈密爾頓-凱萊定理。

(5)　掌握n 維線性空間中一個(gè)線性變換在某一組基下的矩陣為對(duì)角型的充要條件。

(6)　掌握線性變換的值域、核、秩、零度等概念；深刻理解和掌握線性變換的值域與它對(duì)應(yīng)的矩陣的秩的關(guān)系及線性變換的秩和零度間的關(guān)系。

(7)　掌握不變子空間的定義；會(huì)判定一個(gè)子空間是否是A-子空間；深刻理解不變子空間與線性變換矩陣化簡之間的關(guān)系。

(8)　正確理解最小多項(xiàng)式的概念；掌握一個(gè)矩陣相似于一個(gè)對(duì)角陣與它的最小多項(xiàng)式的關(guān)系。

3.重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：線性變換的定義及性質(zhì)、線性變換的運(yùn)算、線性變換與矩陣的聯(lián)系、矩陣相似、線性變換在不同基下的矩陣、矩陣的特征值、特征向量、特征多項(xiàng)式、求矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣與它們的特征多項(xiàng)式的關(guān)系、哈密爾頓-凱萊定理、線性變換在某一組基下的矩陣為對(duì)角型的充要條件、線性變換的值域、核、秩、零度、線性變換的值域與它對(duì)應(yīng)的矩陣的秩的關(guān)系及線性變換的秩和零度間的關(guān)系、不變子空間的定義、判定一個(gè)子空間是否是A-子空間、不變子空間與線性變換矩陣化簡之間的關(guān)系、最小多項(xiàng)式。

難點(diǎn)：特征值和特征向量；線性變換的值域、核；不變子空間與線性變換矩陣化簡。

第八章、歐幾里得空間

1.考試內(nèi)容：定義與基本概念；標(biāo)準(zhǔn)正交基；同構(gòu)；正交變換；子空間；實(shí)對(duì)稱矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形；向量到子空間的距離。

2.考試要求

 (1)　深刻理解歐氏空間的定義及性質(zhì)；掌握向量的長度，兩個(gè)向量的夾角、正交及度量矩陣等概念和基本性質(zhì)，使學(xué)生掌握各種概念之間的聯(lián)系和區(qū)別。

(2)　正確理解正交向量組、標(biāo)準(zhǔn)正交基的概念，掌握施密特正交化過程，并能把一組線性無關(guān)的向量化為單位正交的向量。

(3)　深刻理解兩個(gè)歐氏空間同構(gòu)的定義。掌握兩個(gè)歐氏空間同構(gòu)的意義及同構(gòu)與空間維數(shù)之間的關(guān)系。

(4) 正確理解和掌握正交變換的概念及幾個(gè)等價(jià)關(guān)系，讓學(xué)生掌握正交變換與向量的長度，標(biāo)準(zhǔn)正交基，正交矩陣間的關(guān)系。

(5)　正確理解和掌握兩個(gè)子空間正交的概念，掌握正交與直和的關(guān)系，及歐氏空間中的每一個(gè)子空間都有唯一的正交補(bǔ)的性質(zhì)。

(6) 深刻理解并掌握任一個(gè)對(duì)稱矩陣均可正交相似于一個(gè)對(duì)角陣，并掌握求正交陣的方法。能用正交變換化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)形。

3.重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：歐氏空間的定義及性質(zhì)，向量的長度，兩個(gè)向量的夾角、正交及度量矩陣等概念和基本性質(zhì)，正交向量組、標(biāo)準(zhǔn)正交基的概念，施密特正交化，歐氏空間同構(gòu)的意義及同構(gòu)與空間維數(shù)之間的關(guān)系，正交變換的概念及幾個(gè)等價(jià)關(guān)系，實(shí)對(duì)稱矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形，用正交變換化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)形。   

難點(diǎn)：施密特正交化；正交變換。

四、主要參考書目

1. 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系前代數(shù)小組編. 高等代數(shù).高等教育出版社，2019年5月（第五版）。

原文鏈接 http://yjsc.hainnu.edu.cn/html/2022/gongzuoxinxi_0708/9348.html