《數(shù)學(xué)分析》考試大綱

一、基本要求

掌握數(shù)學(xué)分析中極限論、一元微積分學(xué)、級數(shù)論、多元微積分和含參變量積分等基本內(nèi)容，透徹理解基本概念、基本理論和基本方法，了解概念和理論的背景和幾何或物理意義，具有較強(qiáng)的邏輯思維能力、推理論證能力以及熟練的演算技能技巧，具備應(yīng)用數(shù)學(xué)分析解決實(shí)際問題的能力。

二、考試范圍

1、極限與連續(xù)

(1) 透徹理解和掌握數(shù)列極限、函數(shù)極限的概念，熟練掌握ε-N，ε-X，ε-δ語言解決極限問題。

(2) 熟練掌握收斂數(shù)列的性質(zhì)和數(shù)列極限的存在條件(Stolz定理，單調(diào)有界準(zhǔn)則，夾逼定理，柯西收斂準(zhǔn)則)。熟練掌握函數(shù)極限的性質(zhì)和利用兩個重要極限處理極限計(jì)算。

(3) 理解無窮小量和無窮大量的定義、性質(zhì)和關(guān)系，掌握無窮小量階的比較和方法。

(4) 理解掌握一元函數(shù)連續(xù)性、間斷點(diǎn)及其分類，掌握連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)和單側(cè)連續(xù)。

(5) 掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(最大最小值性、有界性、介值性、一致連續(xù)性)和初等函數(shù)的連續(xù)性;理解復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性、反函數(shù)的連續(xù)性。

(6) 掌握實(shí)數(shù)連續(xù)性定理(閉區(qū)間套定理、單調(diào)有界定理、柯西收斂準(zhǔn)則、確界存在定理、Bolzano-Weierstrass定理)。

(7) 理解二元函數(shù)的極限、累次極限和連續(xù)性;掌握歐氏空間上的基本定理和多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì);理解二重極限與特殊路徑極限的關(guān)系。

(8) 掌握數(shù)列的上、下極限。

2、微分學(xué)

(1) 理解和掌握導(dǎo)數(shù)與微分概念及其幾何意義，熟練運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和求導(dǎo)法則。

(2) 理解單側(cè)導(dǎo)數(shù)、可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系，掌握高階導(dǎo)數(shù)的求法、導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用和微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用。

(3) 熟練掌握中值定理的內(nèi)容、證明及其應(yīng)用，掌握函數(shù)泰勒展開及其在近似計(jì)算中的應(yīng)用。

(4) 能熟掌握洛必達(dá)法則和函數(shù)基本特性(單調(diào)性、極值與最值、凹凸性、拐點(diǎn)及漸近線)判定方法。

(5) 熟練掌握多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)、全微分、方向?qū)��?shù)、高階偏導(dǎo)數(shù)、極值等概念，理解全微分、偏導(dǎo)數(shù)、連續(xù)之間的關(guān)系，理解多元函數(shù)泰勒公式，掌握多元函數(shù)極值的求法。

(6) 理解隱函數(shù)的存在定理，掌握隱函數(shù)的偏導(dǎo)、曲線的切線、法平面方程的求法，熟練掌握條件極值求法。

3、積分學(xué)

(1) 理解不定積分概念，熟練掌握換元積分法、分部積分法、有理式積分法和三角有理式積分法。

(2) 理解定積分、Darboux和、上下積分及函數(shù)可積條件，熟悉一些可積分函數(shù)類，熟練掌握定積分的基本性質(zhì)和積分學(xué)基本定理、積分第一二中值定理、換元積分法、分部積分法等。

(3) 熟練掌握定積分的幾何應(yīng)用以及在物理上的應(yīng)用，掌握"微元法"。

(4) 掌握廣義積分的收斂、發(fā)散、絕對收斂與條件收斂等，熟練掌握兩類反常積分的比較判別法、阿貝爾判別法和狄利克萊判別法判別反常積分的收斂性;了解兩類反常積分的計(jì)算。

(5) 掌握二重、三重積分的性質(zhì)，熟練掌握重積分的計(jì)算及其在求面積體積質(zhì)量等方面的應(yīng)用。

(6) 掌握兩類曲線積分的概念和性質(zhì)，掌握兩類曲面積分的性質(zhì)和曲面積分計(jì)算，熟練掌握格林公式應(yīng)用。

(7) 熟練掌握Gauss公式、Stokes公式及其應(yīng)用。

(8) 了解場論中梯度、散度、環(huán)量、旋度、保守場和勢函數(shù)等概念，掌握保守場的判別條件。

4、級數(shù)論

(1) 理解掌握數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂、發(fā)散、絕對收斂與條件收斂等概念，熟練掌握收斂級數(shù)的性質(zhì)和正項(xiàng)級數(shù)與任意項(xiàng)級數(shù)的斂散性判別法，掌握幾何級數(shù)、調(diào)和級數(shù)與p級數(shù)的性質(zhì)。

(2) 掌握函數(shù)項(xiàng)級數(shù)與函數(shù)序列的收斂、一致收斂概念，熟練掌握極限函數(shù)與和函數(shù)的分析性質(zhì)和函數(shù)項(xiàng)級數(shù)(數(shù)列)的一致收斂性判別。

(3) 理解冪級數(shù)、函數(shù)的冪級數(shù)的概念，掌握冪級數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握冪級數(shù)收斂半徑與收斂域求法以及函數(shù)的冪級數(shù)展開方法。

(4) 理解三角函數(shù)系的正交性與函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開，掌握傅里葉級數(shù)收斂性判別法，熟練掌握函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)的方法。

5、含參變量積分

(1) 掌握含參變量定積分的概念與性質(zhì)。

(2) 理解含參變量廣義積分的收斂與一致收斂的概念，掌握含參變量廣義積分一致收斂的判別法。