2022年碩士研究生入學(xué)考試自命題科目考試大綱

科目代碼：816 科目名稱：實(shí)變函數(shù)

一. 考試要求

主要考查學(xué)生對集與點(diǎn)集的理解與掌握;對Lebesgue測度的理解與掌握;對可測函數(shù)的理解與掌握;對Lebesgue積分的理解與掌握;以及運(yùn)用基本理論和方法，分析解決問題的能力。

二、考試內(nèi)容

1.集與點(diǎn)集

掌握集合的各種運(yùn)算定律;理解映射的像、原像的概念及其運(yùn)算性質(zhì);了解集的對等、勢的概念及其性質(zhì)，會證明可數(shù)集的基本問題;掌握一維開集、閉集的性質(zhì)以及內(nèi)點(diǎn)、極限點(diǎn)、稠密性等若干概念;熟悉康脫集的構(gòu)造及性質(zhì)。

2.Lebesgue測度

理解外測度的概念與性質(zhì)，了解內(nèi)測度的定義，掌握可測集的定義;掌握可測集與測度的性質(zhì);了解不可測集的存在性。

3.可測函數(shù)

理解可測函數(shù)的概念，掌握函數(shù)可測的證明方法;理解“幾乎處處”的概念;掌握幾乎處處收斂、依測度收斂、近一致收斂的特征、性質(zhì)以及它們之間的關(guān)系;理解Riesz定理與葉果洛夫定理，并掌握其證明方法;理解可測函數(shù)的構(gòu)造，掌握魯津定理。

4.Lebesgue積分

理解Lebesgue積分的定義，掌握Lebesgue積分的基本性質(zhì);掌握證明積分基本問題的方法;掌握積分三大極限定理及其基本用法;了解函數(shù)常義R可積的充要條件，理解R積分與L積分的關(guān)系，并會用來計算一類R積分值與L積分值;理解單調(diào)函數(shù)、有界變差函數(shù)的性質(zhì)、掌握絕對連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)、特征及應(yīng)用;掌握Lebesgue積分意義下的微積分基本定理。

三、考試形式

考試形式為閉卷、筆試，考試時間為3小時，滿分150分。

題型包括：填空題(約30分)、證明題(約100分)、計算題(約20分)。

四、參考書目

《實(shí)變函數(shù)與泛函分析概要》(第一冊),鄭維行，王聲望 編.北京：高等教育出版社，2019年，第五版。