《數(shù)學(xué)分析》考試大綱

1.實(shí)數(shù)集與函數(shù)

(1)掌握集合的概念與運(yùn)算，區(qū)間與鄰域。理解映射與一一對(duì)應(yīng)概念。了解幾個(gè)重要不等式。理解確界原理。

(2)掌握函數(shù)概念。掌握復(fù)合函數(shù)方法。了解反函數(shù)存在定理。理解初等函數(shù)。

(3)掌握函數(shù)的幾種特性(單調(diào)性、有界性、奇偶性、周期性等)

2. 數(shù)列極限

(1)理解數(shù)列極限概念。

(2)掌握收斂數(shù)列的性質(zhì)。理解數(shù)列極限存在的條件。

3. 函數(shù)極限

(1)理解函數(shù)極限概念，掌握ε-δ論證方法。

(2)掌握函數(shù)極限的性質(zhì)。理解函數(shù)極限存在的條件。

(3)掌握兩個(gè)重要極限的應(yīng)用。

(4)掌握無(wú)窮小與無(wú)窮大概念。

4. 函數(shù)的連續(xù)性

(1)理解函數(shù)的連續(xù)與間斷概念。

(2)了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。了解復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)的連續(xù)性。理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

(3)理解函數(shù)的一致連續(xù)性。理解初等函數(shù)的連續(xù)性。

5. 導(dǎo)數(shù)和微分

(1)掌握導(dǎo)數(shù)概念。

(2)掌握求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)計(jì)算。

(3)理解微分概念。

(4)理解高階導(dǎo)數(shù)與高階微分

6. 微分中值定理及其應(yīng)用

(1)理解Rolle中值定理，Lagrange中值定理，Cauchy中值定理。

(2)掌握Taylor公式和L’Hospital法則。

(3)理解函數(shù)的凸性及其性質(zhì)。

(4)掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性態(tài)及函數(shù)作圖。

7. 實(shí)數(shù)的完備性

(1)理解子列概念。理解致密性定理，區(qū)間套定理，有限覆蓋定理。理解實(shí)數(shù)連續(xù)性定理的等價(jià)性。

(2)了解上、下極限概念。

8.不定積分

(1)理解原函數(shù)與不定積分概念。掌握基本積分公式和不定積分的運(yùn)算法則。

(2)掌握換元積分法與分部積分法。

(3)掌握有理函數(shù)的不定積分，三角函數(shù)的不定積分和某些無(wú)理函數(shù)的不定積分。

9. 定積分

(1)理解定積分概念。掌握Newton-Leibniz公式。

(2)了解Darboux上、下和與Darboux上、下積分。理解可積充要條件和可積函數(shù)類(lèi)。

(3)理解定積分性質(zhì)。掌握變限積分及其性質(zhì)。理解積分中值定理。

10. 定積分的應(yīng)用

(1)理解微元法的基本思想。掌握用定積分計(jì)算幾何問(wèn)題 (平面圖形面積，已知截面函數(shù)的立體體積，平面曲線(xiàn)弧長(zhǎng)，旋轉(zhuǎn)體的體積與側(cè)面積)。

(2)掌握定積分計(jì)算物理問(wèn)題 (變力做功，側(cè)壓力，質(zhì)量與質(zhì)心計(jì)算，引力問(wèn)題)。掌握曲率計(jì)算。了解定積分的近似計(jì)算。

11. 反常積分

(1)理解反常積分概念

(2)理解無(wú)窮積分與瑕積分的收斂與發(fā)散概念。掌握斂散性判別法(比較法、Cauchy收斂準(zhǔn)則、Dirichlet判別法與Abel判別法)。

12. 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

(1)理解級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散概念。理解收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)，Cauchy收斂準(zhǔn)則。掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的判別方法 (基本定理，比較法、比值法、根值法、積分法)。

(2)理解絕對(duì)收斂與條件收斂。掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)的Leibniz判斂法，任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的Dirichlet判別法與Abel判別法。

(3)了解級(jí)數(shù)的重排，級(jí)數(shù)的乘法，無(wú)窮乘積。

13. 函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

(1)理解點(diǎn)態(tài)收斂與一致收斂概念。掌握函數(shù)列與函數(shù)級(jí)數(shù)一致收斂及判別法。

(2)理解一致收斂函數(shù)列與函數(shù)級(jí)數(shù)的分析性質(zhì)。

14. 冪級(jí)數(shù)

(1)掌握冪級(jí)數(shù)的收斂半徑的求法，收斂區(qū)間與收斂域。

(2)掌握冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)計(jì)算。掌握函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式。

15. 傅里葉級(jí)數(shù)

(1)理解傅里葉級(jí)數(shù)的概念。會(huì)將函數(shù)展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)。

(2)理解以2L為周期的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式。

16. 多元函數(shù)的極限與連續(xù)

(1)理解平面點(diǎn)集，平面點(diǎn)列極限。了解R2上完備性定理。理解多元函數(shù)概念。

(2)掌握二元函數(shù)的極限與連續(xù)。理解有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

17. 多元函數(shù)微分學(xué)

(1)理解偏導(dǎo)數(shù)與全微分的概念。掌握偏導(dǎo)數(shù)與全微分的計(jì)算。

(2)掌握復(fù)合函數(shù)的微分法，及方向?qū)��?shù)與梯度的計(jì)算。

(3)理解多元函數(shù)的Taylor公式。

(4)掌握二元函數(shù)的極值與最值。

18. 隱函數(shù)存在定理及其應(yīng)用

(1)理解隱函數(shù)概念。理解隱函數(shù)存在定理。

(2)掌握隱函數(shù)的微分法。了解隱函數(shù)組概念和存在定理。

(3)掌握空間曲線(xiàn)的切線(xiàn)和法面，空間曲面的切面和法線(xiàn)。

(4)掌握條件極值與Lagrange乘數(shù)法，最小二乘法。

19. 含參變量積分

(1)理解含參變量常義積分的分析性質(zhì)。

(2)理解含參變量反常積分的一致收斂性概念。

(3)掌握一致收斂性判別法。理解一致收斂性積分的分析性質(zhì)及其應(yīng)用。

(4)了解Euler積分。

20. 曲線(xiàn)積分

(1)理解兩類(lèi)曲線(xiàn)積分的概念與性質(zhì)。

(2)掌握兩類(lèi)曲線(xiàn)積分的計(jì)算。

(3)了解兩類(lèi)曲線(xiàn)積分的聯(lián)系。

21.重積分

(1)理解二重積分概念。理解可積性充要條件。了解重積分的基本性質(zhì)。理解三重積分概念。

(2)掌握二重積分與三重積分的計(jì)算，理解重積分的變量替換。

(3)掌握格林公式。理解曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)的條件。

(4)掌握極坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的計(jì)算法。

(5)掌握重積分的幾何應(yīng)用與物理應(yīng)用。

22. 曲面積分

(1)理解兩類(lèi)曲面積分的概念與性質(zhì)。

(2)掌握第一類(lèi)曲面積分的計(jì)算。

(3)理解曲面的側(cè)，掌握第二類(lèi)曲面積分的計(jì)算。

(4)了解兩類(lèi)曲面積分的聯(lián)系。

(5)掌握Gauss公式和Stokes公式。

參考資料書(shū)：

《數(shù)學(xué)分析》(第4版，上、下冊(cè)) 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 高等教育出版社 2010

《吉米多維奇數(shù)學(xué)分析習(xí)題集題解》(一至六冊(cè)) 費(fèi)定暉等，山東科學(xué)技術(shù)出版社 2012