714數(shù)學分析

北京師范大學碩士研究生入學考試數(shù)學分析大綱

參考書:

1.數(shù)學分析第二版上、下, 陳紀修等, 高等教育出版社, 2004.

2.簡明數(shù)學分析 第二版, 郇中丹等, 高等教育出版社， 2009.

3.數(shù)學分析第3版(1-3冊), 鄭學安等編著, 北京師范大學出版社, 2010。

一、實數(shù)集與函數(shù)

考試內容：實數(shù)概念及性質，確界原理，閉區(qū)間套定理，函數(shù)的概念及表示法，函數(shù)的有界性、單調性、周期性和奇偶性，復合函數(shù)、反函數(shù)、分段函數(shù)和隱函數(shù)，基本初等函數(shù)的性質及其圖形，初等函數(shù)，函數(shù)關系的建立.

考試要求：

1.理解實數(shù)概念,掌握實數(shù)的小數(shù)表示及性質.

2.掌握確界概念并會應用確界原理.

3.掌握閉區(qū)間套概念并會應用閉區(qū)間套定理.

4.理解函數(shù)的概念,掌握函數(shù)的表示法,會建立應用問題的函數(shù)關系.

5.掌握函數(shù)的有界性、單調性、周期性和奇偶性.

6.掌握復合函數(shù)、分段函數(shù)、反函數(shù)及隱函數(shù)的概念.

7.掌握基本初等函數(shù)的性質及其圖形,理解初等函數(shù)的概念.

二、數(shù)列與一元函數(shù)的極限

考試內容：數(shù)列極限和函數(shù)極限(簡稱極限)的定義，數(shù)列的上、下極限，函數(shù)的單側極限(自變量趨于單點時函數(shù)的左極限與右極限，自變量趨于正或負無限大時函數(shù)的極限)，函數(shù)的單側上、下極限，無窮小量和無窮大量的概念及其關系，無窮小量的性質及無窮小量的比較，極限的性質，極限存在的兩個判別準則: 柯西(Cauchy)準則和單調有界準則, 兩個重要極限，致密性定理，聚點定理，數(shù)列極限的施托爾茨(Stolz)定理，函數(shù)極限的海涅(Heine)定理，開集、閉集和緊集，有限覆蓋定理.

考試要求：

1.掌握極限的概念(包括某一極限過程中數(shù)列或函數(shù)的收斂與發(fā)散)，理解函數(shù)左極限與右極限的概念以及函數(shù)極限存在與左、右極限之間的關系.

2.掌握極限的性質(有界性、唯一性、保號性、算術性質、保序性、夾逼性質等).

3.掌握極限存在的柯西準則，并會利用它判斷極限的存在與否.

4.掌握極限存在的單調有界準則，能夠用其判斷數(shù)列收斂或在某一極限過程中函數(shù)收斂，并在可能的情況下求出極限.

5.掌握致密性定理(有界數(shù)列必有收斂子列)，聚點定理(有界無窮點集至少有一個聚點).

6.掌握利用兩個重要極限求極限的方法，會用施托爾茨定理求極限.

7.掌握無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的比較方法，會用等價無窮小量求極限.

8.掌握函數(shù)連續(xù)性的概念(含左連續(xù)與右連續(xù))，會判別函數(shù)間斷點的類型.

9.掌握海涅定理并會利用它判斷極限的存在與否.

10.理解開集、閉集的概念和性質，掌握緊集與開覆蓋的概念、有限覆蓋定理.

三、一元函數(shù)的連續(xù)

考試內容：函數(shù)連續(xù)的概念和性質，函數(shù)間斷點的類型，初等函數(shù)的連續(xù)性，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質.

考試要求：

1.理解連續(xù)函數(shù)的概念、性質和初等函數(shù)的連續(xù)性,掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(有界性、最大值和最小值定理、介值定理等),并會應用這些性質.

2.理解連續(xù)函數(shù)的一致連續(xù)性概念,掌握有界閉區(qū)間上的海涅-康托爾(Heine-Cantor)一致連續(xù)定理.

四、一元函數(shù)微分學

考試內容：導數(shù)和微分的概念和關系，導數(shù)的幾何意義和物理意義，微分的幾何意義，函數(shù)的可導性與連續(xù)性之間的關系，平面曲線的切線和法線，導數(shù)和微分的四則運算，基本初等函數(shù)的導數(shù)，復合函數(shù)、反函數(shù)、隱函數(shù)以及參數(shù)方程所確定的函數(shù)的微分法，高階導數(shù)，萊布尼茲求導公式，一階微分形式的不變性，微分中值定理，泰勒(Taylor)公式，洛必達(L'Hospital)法則，函數(shù)單調性的判別，函數(shù)的極值，函數(shù)的最大值和最小值，函數(shù)圖形的凹凸性、拐點及漸近線，函數(shù)圖形的描繪，插值多項式和方程近似求根.

考試要求：

1.理解導數(shù)和微分的概念，理解導數(shù)與微分的關系，理解導數(shù)的幾何意義，會求平面曲線的切線方程和法線方程，了解導數(shù)的物理意義，會用導數(shù)描述一些物理量，理解函數(shù)的可導性與連續(xù)性之間的關系.

2.掌握導數(shù)的四則運算法則、復合函數(shù)的求導法則，掌握基本初等函數(shù)的導數(shù)公式.了解微分的四則運算法則和一階微分形式的不變性，會求函數(shù)的微分.

3.理解高階導數(shù)的概念、萊布尼茲求導公式，會求一些簡單函數(shù)的高階導數(shù).

4.會求分段函數(shù)的導數(shù)，會求隱函數(shù)及反函數(shù)的導數(shù).

5.掌握羅爾(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理、柯西(Cauchy)中值定理、達布導函數(shù)介值定理和泰勒(Taylor)定理(帶幾種余項的).

6.掌握洛必達法則以及用洛必達法則求未定式極限的方法.

7.理解函數(shù)的極值概念，掌握用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性和求函數(shù)極值的方法，掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其應用.

8.會用導數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性，會求函數(shù)圖形的拐點以及水平、鉛直和斜漸近線，會描繪函數(shù)的圖形.

9.理解插值多項式和方程近似求根.

五、一元函數(shù)積分學

考試內容：原函數(shù)和不定積分的概念，不定積分的基本性質，基本函數(shù)的積分公式,定積分(指黎曼積分)的概念和基本性質，定積分中值定理，積分上、下限函數(shù)及其導數(shù)，黎曼可積的判別準則，牛頓一萊布尼茨(Newton-Leibniz)公式，不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法，有理函數(shù)、三角函數(shù)的有理式和簡單無理函數(shù)的積分，反常(廣義)積分，定積分的應用.

考試要求：

1.理解原函數(shù)的概念，掌握不定積分和定積分的概念.掌握函數(shù)是黎曼可積的必要條件，掌握函數(shù)黎曼可積的判別準則.

2.掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分和定積分的性質及定積分中值定理，掌握換元積分法與分部積分法.

3.掌握有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式和簡單無理函數(shù)的積分.

4.理解積分變上限的函數(shù)，會求它的導數(shù)，掌握牛頓-萊布尼茨公式.理解定積分的近似計算.

5.理解反常積分的概念和性質，掌握判斷廣義積分收斂與否的方法，會計算一些簡單的廣義積分.

6.掌握用定積分表達和計算一些幾何量與物理量(平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉體的體積及側面積、平行截面面積為已知的立體體積,及功、引力、壓力、質心、形心等)及函數(shù)的平均值.

六、無窮級數(shù)

考試內容:(一)常數(shù)項級數(shù)：收斂與發(fā)散的概念，收斂級數(shù)的和的概念，級數(shù)的基本性質與收斂的必要條件，幾何級數(shù)與，p級數(shù)及其收斂性，正項級數(shù)收斂性的判別法，交錯級數(shù)與萊布尼茨定理，任意項級數(shù)的絕對收斂與條件收斂.(二)函數(shù)項級數(shù)：收斂域、和函數(shù)、一致收斂概念，函數(shù)項級數(shù)的一致收斂判別法、和函數(shù)的分析性質(連續(xù)性、可微性和可積性;逐項求極限、求微分和逐項求積分),(三)冪級數(shù)：冪級數(shù)及其收斂半徑、收斂區(qū)間(指開區(qū)間)和收斂域，冪級數(shù)的和函數(shù)，冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內的基本性質，簡單冪級數(shù)的和函數(shù)的求法，初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式.(四)三角級數(shù)與函數(shù)的傅里葉(Fourier)級數(shù)：2л-周期函數(shù)的傅里葉系數(shù)與傅里葉級數(shù)，黎曼引理，貝塞爾不等式，傅里葉級數(shù)收斂的狄尼(Dini)判別法、狄利克雷(Dirichlet)判別法，傅里葉級數(shù)的收斂定理，2l(l>0)-周期函數(shù)函數(shù)的傅里葉級數(shù)，正弦級數(shù)和余弦級數(shù).

考試要求：

1.理解常數(shù)項級數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級數(shù)的和的概念，掌握級數(shù)的基本性質及收斂的必要條件.

2.掌握幾何級數(shù)與\,$p$級數(shù)的收斂與發(fā)散的條件.

3.掌握正項級數(shù)收斂性的柯西判別準則、比較判別法、比值判別法、根值判別法、拉比(Raabe)判別法、積分判別法等.

4.掌握交錯級數(shù)的萊布尼茨判別法.

5.掌握任意項級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念、絕對收斂與收斂的關系和絕對收斂級數(shù)的乘積.

6.掌握狄利克雷判別法和阿貝爾判別法.

7.理解函數(shù)項級數(shù)的收斂域、和函數(shù)的概念及性質.

8.掌握判別函數(shù)列及函數(shù)項級數(shù)一致收斂與否的方法(柯西準則、優(yōu)級數(shù)判別法、狄利克雷判別法、阿貝爾判別法和迪尼判別法等)，掌握函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)的分析性質.

9.理解冪級數(shù)收斂半徑的概念、并掌握冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法.

10.理解冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內的基本性質(和函數(shù)的連續(xù)性、逐項求導和逐項積分)，會求一些冪級數(shù)在收斂區(qū)間內的和函數(shù)，并會由此求出某些數(shù)項級數(shù)的和.

11.理解函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的充分必要條件.

12.掌握幾個基本初等函數(shù)ex,ln(1+x),sinx,cosx,(1+x)α的麥克勞林(Maclaurin)展開式，會用它們將一些簡單函數(shù)間接展開成冪級數(shù).

13.理解正交函數(shù)系、傅里葉系數(shù)及傅里葉級數(shù)的概念.掌握黎曼引理，局部化定理，貝塞爾不等式.掌握傅里葉級數(shù)的狄尼(Dini)判別法、狄利克雷判別法及收斂定理.

14.會將定義在閉區(qū)間[-l,l)上的黎曼可積函數(shù)延拓成周期為2l的函數(shù)并展開其傅里葉級數(shù)，會將定義在[0,l)上的函數(shù)展開為正弦級數(shù)與余弦級數(shù)，會寫出傅里葉級數(shù)的和函數(shù)的表達式.

七、多元函數(shù)微分學

考試內容：多元函數(shù)的概念，二元函數(shù)的幾何意義，多元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念，多元函數(shù)極限存在與否的判斷，二元函數(shù)的累次極限，有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)的性質，多元函數(shù)的偏導數(shù)和全微分、二階乃至更高階偏導數(shù)，全微分存在的必要條件和充分條件，隱函數(shù)存在定理，反函數(shù)存在定理，多元復合函數(shù)、隱函數(shù)的求導法、二階導數(shù)，方向導數(shù)和梯度，空間曲線的切線和法平面，曲面的切平面和法線，二元函數(shù)的二階泰勒公式，多元函數(shù)的極值和條件極值，多元函數(shù)的最大值、最小值及其簡單應用.

考試要求：

1.理解多元函數(shù)的概念，理解二元函數(shù)的幾何意義.

2.理解多元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念以及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質.

3.理解多元函數(shù)偏導數(shù)和全微分的概念，會求全微分，理解全微分存在的必要條件和充分條件，理解全微分形式的不變性.

4.理解方向導數(shù)與梯度的概念，并掌握其計算方法.

5.掌握多元復合函數(shù)一階、二階偏導數(shù)的求法，以及一些簡單函數(shù)的高階偏導數(shù)的求法.

6.理解隱函數(shù)存在定理，會求多元隱函數(shù)的一階、二階偏導數(shù)以及一些簡單函數(shù)的高階偏導數(shù).

7.理解空間曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，會求它們的方程.

8.理解多元函數(shù)的泰勒公式.

9.理解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件，理解多元函數(shù)極值存在的充分條件，會求簡單的多元函數(shù)的極值，會用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值，會求簡單多元函數(shù)的最大值和最小值，并會解決一些簡單的應用問題.

八、含參變量的廣義積分

考試內容：含參變量的廣義積分的概念，含參變量的廣義積分一致收斂的概念，含參變量的廣義積分的分析性質，一些含參變量的廣義積分的計算.伽瑪(Gamma)函數(shù),貝塔(Beta)函數(shù).

考試要求：

1.掌握常義含參變積分的概念、基本性質和定理.

2.理解含參變量廣義積分收斂、一致收斂的概念，掌握含參量廣義積分的魏爾斯特拉斯判別法、柯西準則、阿貝爾判別法、狄利克雷判別法及迪尼判別法.

3.掌握含參變量的廣義積分的分析性質(連續(xù)性、可微性和可積性)的定理.

4.掌握一些廣義積分及含參量廣義積分的計算.理解含參量廣義積分概念和函數(shù)項級數(shù)概念之間的關系.

5.理解伽瑪函數(shù)、貝塔函數(shù)及其性質和關系,理解斯特林公式.

九、多元函數(shù)積分學

考試內容：二重積分與三重積分的概念、性質、計算和應用,兩類曲線積分的概念、性質及計算，兩類曲線積分的關系，格林(Green)公式,平面曲線積分與路徑無關的條件，二元函數(shù)全微分的原函數(shù)，兩類曲面積分的概念、性質及計算，兩類曲面積分的關系，高斯(Gauss)公式,斯托克斯(Stokes)公式,散度、旋度的概念及計算,曲線積分和曲面積分的應用.

考試要求：

1.理解重積分的概念、性質.

2.掌握二、三重積分的計算方法，特別是積分變換(直角坐標、極坐標、柱面坐標、球面坐標以及其他簡單的變換),會計算一些簡單的重數(shù)高于三的重積分.

3.掌握兩類曲線積分的概念、性質及兩類曲線積分之間的關系.

4.掌握計算兩類曲線積分的方法.

5.掌握格林公式并會運用平面曲線積分與路徑無關的條件，會求二元函數(shù)全微分的原函數(shù).掌握斯托克斯公式并會運用其計算曲線積分,會運用曲線積分與路徑無關的條件求三元函數(shù)全微分的原函數(shù).

6.理解兩類曲面積分的概念、性質及兩類曲面積分的關系，掌握計算兩類曲面積分的方法，掌握高斯公式并會運用其計算曲面積分的方法.

7.理解散度與旋度的概念，并會計算.

8.會用重積分、曲線積分及曲面積分求一些幾何量與物理量(平面圖形的面積、體積、曲面面積、弧長、質量、質心、形心、轉動慣量、引力、功及流量等).