數(shù)學(xué)分析

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數(shù)學(xué)

《數(shù)學(xué)分析》課程是數(shù)學(xué)學(xué)科各專業(yè)碩士研究生入學(xué)考試必考科目之一，是由教育部授權(quán)各招生院校自行命題的選拔性考試�！稊�(shù)學(xué)分析》考試的目的是考察考生是否具備進(jìn)行本學(xué)科各專業(yè)碩士研究生學(xué)習(xí)所要求的水平。

《數(shù)學(xué)分析》試卷旨在測試考生掌握數(shù)學(xué)分析理論的基本知識與內(nèi)容、分析處理和證明基本問題的方法與技巧。具體要求如下：

1．要求考生比較系統(tǒng)地理解數(shù)學(xué)分析的基本概念和基本理論，掌握數(shù)學(xué)分析的基本思想和方法。

2．要求考生具有抽象思維能力、邏輯推理能力、運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用所學(xué)的知識分析問題和解決問題的能力。

1. 考試時(shí)間：考試時(shí)間為180分鐘。

2. 試卷滿分：本試卷滿分為150分。

3. 考試形式：閉卷、筆試。

4. 試卷題型結(jié)構(gòu)：計(jì)算題、證明題、解答題。

第一部分 一元函數(shù)微積分

一、極限理論 函數(shù)的連續(xù)性

1. 掌握數(shù)列的極限理論, 包括極限的定義、性質(zhì)等.

2. 掌握函數(shù)極限，包括定義、性質(zhì)、無窮小量比較等.

3. 掌握函數(shù)的連續(xù)性與連續(xù)函數(shù)的性質(zhì), 包括連續(xù)點(diǎn)與間斷點(diǎn)的分類，初等函數(shù)的連續(xù)性，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)，一致連續(xù)性.

4. 掌握實(shí)數(shù)的完備性定理，包括確界存在原理、單調(diào)收斂定理、區(qū)間套定理、Cauchy收斂準(zhǔn)則、聚點(diǎn)定理、有限覆蓋定理.

5. 初步掌握上、下極限概念

二、導(dǎo)數(shù)與微分

1. 掌握導(dǎo)數(shù)與微分的概念、性質(zhì)；掌握導(dǎo)數(shù)與微分的應(yīng)用，包括函數(shù)的單調(diào)性與極值，凹凸性, 拐點(diǎn)，漸近線與函數(shù)作圖.

2. 掌握求導(dǎo)法則，包括基本運(yùn)算性質(zhì)，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，參數(shù)方程給出的函數(shù)的求導(dǎo)法則等.

3. 掌握微分中值定理，包括 Fermat 定理，Lagrange 定理，Cauchy 定理與 Taylor公式； 掌握不定型的極限計(jì)算.

三、積分

1. 理解不定積分的概念和意義，掌握包括分部積分法和換元積分法在內(nèi)的積分法；掌握有理函數(shù)的積分法；熟悉三角函數(shù)有理式的積分法以及常見無理函數(shù)的積分法.

2. 理解定積分的概念及基本性質(zhì)，掌握定積分的計(jì)算和應(yīng)用，包括微元法和面積、弧長、曲率等的計(jì)算.

3. 熟悉反常積分理論.

四、級數(shù)

1. 掌握數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂概念與收斂判別法，掌握正項(xiàng)級數(shù)的各種收斂判別法；掌握一般項(xiàng)級數(shù)斂散判別法.

2. 掌握函數(shù)項(xiàng)級數(shù)與函數(shù)項(xiàng)序列的性質(zhì)以及一致收斂性的判別法.

3. 掌握冪級數(shù)收斂區(qū)間的概念及其確定方法、冪級數(shù)求和、函數(shù)展開成冪級數(shù)（Taylor 級數(shù)）與一些常用函數(shù)的冪級數(shù).

4. 掌握 Fourier 級數(shù)的概念及 Fourier 級數(shù)的收斂定理以及周期函數(shù)的 Fourier 級數(shù)展開；初步了解非周期函數(shù)的 Fourier 積分.

第二部分 多元函數(shù)微積分

一、微分

1. 掌握多元函數(shù)極限的概念、性質(zhì)與計(jì)算.

2. 掌握多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、梯度、方向?qū)��?shù)、微分法、微分中值定理、極值的求解等.

3. 掌握隱函數(shù)定理.

4. 了解向量值函數(shù)的微分學(xué).

二、積分

1．掌握二、三重積分，包括積分變換等計(jì)算方法 .

2．掌握第一型、第二型曲線積分, 以及它們之間的關(guān)系.

3．掌握第一型、第二型曲面積分的計(jì)算及它們之間的關(guān)系.

4．掌握 Green 公式、Gauss 公式、Stokes 公式.

5．掌握含參變量的積分理論, 包括基本性質(zhì)、一致收斂性的判定、歐拉積分( 函數(shù)和函數(shù)) .

 

1. 陳紀(jì)修、於崇華、金路，數(shù)學(xué)分析（第二版），高等教育出版社，2004.

2. 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，數(shù)學(xué)分析（第四版），高等教育出版社，2010 .