長春理工大學數(shù)學研究生入學加試

《復變函數(shù)》考試大綱

一、總體要求

考生應按本大綱的要求，掌握復變函數(shù)的積分理論，級數(shù)理論，留數(shù)理論，保形映射和解析函數(shù)的理論，并了解調(diào)和函數(shù)的概念。應注意各部分知識的結(jié)構(gòu)及知識的內(nèi)在聯(lián)系;應具備有一定的抽象思維能力、邏輯推理能力、運算能力;能運用基本概念、基本理論和基本方法正確地推理證明。

二、教材

《復變函數(shù)(第五版)》，余家榮，高等教育出版社

三、考試內(nèi)容

(一)復數(shù)及復平面

(1)理解復數(shù)的定義，熟練掌握復數(shù)的代數(shù)表達，四則運算及共軛的求法; 熟練掌握復數(shù)與平面上點一一對應關(guān)系，復平面在幾何中的應用，復平面與平面向量的關(guān)系;熟練掌握復數(shù)的模，輻角，三角表達式的定義和求法;掌握復數(shù)的球面表示，復球面及無窮大。

(2) 理解內(nèi)點、外點、邊界點、聚點、圓盤、連通性、開集、閉集等概念，曲線、區(qū)域的概念，理解Jordan曲線定理。

(二)復變函數(shù)

(1)深入理解復變函數(shù)的定義，掌握復變函數(shù)的極限、連續(xù)與其實、虛部這一對二元函數(shù)的極限連續(xù)性的等價性;理解并掌握解析函數(shù)的概念;熟練掌握Cauchy—Riemann條件，能夠用這個條件判定函數(shù)的解析性。

(2) 理解多值函數(shù)的概念、分支、分支點的概念，熟練掌握基本初等函數(shù)：指數(shù)函數(shù)，輻角函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)，三角函數(shù)的定義、性質(zhì)。

(三)復變函數(shù)的積分

(1) 掌握積分的定義、性質(zhì)，會將光滑曲線上的連續(xù)函數(shù)的積分化成定積分計算;深入理解和熟練掌握Cauchy定理，理解Cauchy定理的證明;掌握Cauchy定理的推廣，會用Cauchy定理計算積分。

(2) 熟練掌握Cauchy公式，能熟練使用Cauchy公式計算積分;掌握解析函數(shù)的無窮可微性，Cauchy不等式，Liouville定理，Morera定理，會使用這些性質(zhì)和理論解決一些具體的問題。

(四)級數(shù)

(1)掌握復數(shù)項級數(shù)的定義及其收斂條件，函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性定義與判定法，內(nèi)閉一致收斂的定義，判定法和性質(zhì);掌握冪級數(shù)的收斂的定義，判定法，和函數(shù)的性質(zhì)。

(2) 掌握函數(shù)能展開成Taylor展式的理論依據(jù)和方法，能熟練地將解析函數(shù)展開成冪級數(shù);掌握解析函數(shù)冪級數(shù)展式的唯一性;深入理解并掌握零點的概念，掌握零點的孤立性;掌握解析函數(shù)的唯一性定理。

(3) 理解和掌握解析函數(shù)的Laurent展式的概念;掌握解析函數(shù)的Laurent展式的唯一性;能熟練地將解析函數(shù)展開成Laurent展式;理解和掌握解析函數(shù)三類孤立奇點的定義，判定方法;掌握解析函數(shù)在無窮遠點性質(zhì);理解整函數(shù)和亞純函數(shù)的定義，掌握整函數(shù)和亞純函數(shù)的簡單應用。

(五) 留數(shù)

(1)掌握留數(shù)定理，能熟練計算函數(shù)的留數(shù)。

(2) 熟練掌握利用留數(shù)求積分的方法;掌握亞純函數(shù)在一定區(qū)域內(nèi)零點與極點個數(shù)的關(guān)系，理解Rouche定理，會用Rouche定理確定某些方程在一定區(qū)域內(nèi)根的個數(shù)。

(六)保形映射

(1)深入理解和掌握單葉解析函數(shù)的概念;熟練掌握單葉解析函數(shù)各個性質(zhì)，并能利用這些性質(zhì)解決一些具體問題;掌握保形映射的概念;掌握單葉解析函數(shù)的幾何意義。

(2)理解和掌握分式線性函數(shù)的定義;熟練掌握分式線性函數(shù)的幾條映射性質(zhì)，理解并熟練掌握兩個特殊的分式線性函數(shù)。

(3)掌握最大模原理，Schwatz引理;理解Riemann映射定理，邊界對應原理;熟練掌握將某些區(qū)域保形映射成所要求的區(qū)域的方法。

(七) 解析函數(shù)

(1) 理解和掌握對稱原理及其推廣的形式，會應用對稱原理和推廣的對稱原理; 掌握用冪級數(shù)進行解析開拓的方法;了解一般解析函數(shù)，Riemann面的概念和實例;了解沿曲線的解析開拓問題。

(2) 掌握多角形映射基本公式，會用多角形映射基本公式解決具體的問題。

(八)調(diào)和函數(shù)

(1)理解和掌握調(diào)和函數(shù)的概念; 掌握調(diào)和函數(shù)的中值定理和中值公式，Poisson公式，以及調(diào)和函數(shù)的極值原理。