長(zhǎng)春理工大學(xué)數(shù)學(xué)研究生入學(xué)初試

《高等代數(shù)》考試大綱

一、總體要求

高等代數(shù)是大學(xué)數(shù)學(xué)系本科學(xué)生的最基本課程之一，它的主要內(nèi)容包括多項(xiàng)式理論、行列式、線性方程組、矩陣、二次型、線性空間、線性變換、λ-矩陣、歐幾里得空間、雙線性函數(shù)。要求考生熟悉基本概念、掌握基本定理、有較強(qiáng)的運(yùn)算能力、推理證明能力和綜合分析解決問(wèn)題的能力。要求考生比較系統(tǒng)地理解高等代數(shù)的基本概念和基本理論，掌握高等代數(shù)的基本思想和方法。要求考生具有抽象思維能力、邏輯推理能力、運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

二、教材

北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組編，《高等代數(shù)》，高等教育出版社，2003年7月第3版.

張禾瑞，郝鈵新編，《高等代數(shù)》，高等教育出版社， 1997.

姚慕生編，《高等代數(shù)》，復(fù)旦大學(xué)出版社， 2003.

三、考試內(nèi)容

(一) 多項(xiàng)式

1. 一元多項(xiàng)式的整除、最大公因式、帶余除法公式、互素、不可約、因式分解、重因式、根及重根、多項(xiàng)式函數(shù)的概念及判別;

2. 復(fù)根存在定理(代數(shù)基本定理);

3. 根與系數(shù)關(guān)系;

4. 一些重要定理的證明，如多項(xiàng)式的整除性質(zhì)，Eisenstein判別法，不可約多項(xiàng)式的性質(zhì)，整系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解定理等;

5. 運(yùn)用多項(xiàng)式理論證明有關(guān)命題，如最大公因式、多項(xiàng)式的互素、不可約多項(xiàng)式的性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題的證明與應(yīng)用;

6. 用多項(xiàng)式函數(shù)方法證明有關(guān)結(jié)論。

(二) 行列式1. -級(jí)排列、對(duì)換、-級(jí)排列的逆序及逆序數(shù)和奇偶性;

2. -階行列式的定義，基本性質(zhì)及常用計(jì)算方法(如三角形法、加邊法、降階法、遞推法、按一行或一列展開法、Laplace展開法、Vandermonde行列式法);

 

3. Vandermonde行列式;

4. 行列式的代數(shù)余子式。

(三) 線性方程組

1. 向量組線性相(無(wú))關(guān)的判別及相應(yīng)齊次線性方程組有(無(wú))非零解的相關(guān)向量判別法、行列式判別法;

2. 向量組的極大線性無(wú)關(guān)組的性質(zhì)，向量組之間秩的大小關(guān)系定理及其三個(gè)推論， 向量組的秩的概念及計(jì)算，矩陣的行秩、列秩、秩概念及其行列式判別法和計(jì)算;

3. Cramer法則，線性方程組有(無(wú))解的判別定理，齊次線性方程組有(無(wú))非零解的矩陣秩判別法、基礎(chǔ)解系的計(jì)算和性質(zhì)、通解的求法;

4. 非齊次線性方程組的解法和解的結(jié)構(gòu)定理;

(四) 矩陣

1. 矩陣基本運(yùn)算、分塊矩陣運(yùn)算及常用分塊方法并用于證明與矩陣相關(guān)的結(jié)論，如有關(guān)矩陣秩的不等式;

2. 初等矩陣、初等變換及其與初等矩陣的關(guān)系和應(yīng)用;

3. 矩陣的逆和矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形的概念及計(jì)算，矩陣可逆的條件及其與矩陣的秩和初等矩陣的關(guān)系，伴隨矩陣概念及性質(zhì);

4. 行列式乘積定理;

5. 矩陣的轉(zhuǎn)置及相關(guān)性質(zhì);

6. 一些特殊矩陣的常用性質(zhì)，如，對(duì)角陣、三角陣、對(duì)稱矩陣、反對(duì)稱矩陣、冪等矩陣、正交矩陣等;

7. 矩陣的跡、方陣的多項(xiàng)式;

8. 應(yīng)用矩陣?yán)碚摻鉀Q一些問(wèn)題。

(五) 二次型

1. 二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形、規(guī)范型的概念和計(jì)算，慣性定理及其應(yīng)用;

2. 實(shí)二次型或?qū)崒?duì)稱矩陣正定、半正定、負(fù)定、半負(fù)定的概念及判定條件和應(yīng)用;

3. 實(shí)二次型在合同變換下的標(biāo)準(zhǔn)形和規(guī)范型，以及在正交變換下的特征值標(biāo)準(zhǔn)形的求法。

(六) 線性空間

1. 線性空間、子空間的定義及性質(zhì);

2. 線性空間中一個(gè)向量組的秩及計(jì)算方法;

3. 線性(子)空間的基和維數(shù)與向量關(guān)于基的坐標(biāo)，子空間的基擴(kuò)充定理，基變換與坐標(biāo)變換，生成子空間，子空間的直和，一些常見的子空間，如線性方程組的解空間，矩陣空間，多項(xiàng)式空間;

4. 子空間的直和、維數(shù)公式;

5. 線性空間的同構(gòu);

6. 向量組線性相關(guān)或無(wú)關(guān)及子空間直和等相關(guān)結(jié)論的綜合證明;

(七) 線性變換

1. 線性變換定義與運(yùn)算及其矩陣表示;

2. 矩陣的特征多項(xiàng)式和最小多項(xiàng)式及其有關(guān)性質(zhì);

3. 線性變換及其對(duì)應(yīng)矩陣的特征值和特征向量的概念和計(jì)算;

4. 線性變換及其矩陣的線性無(wú)關(guān)特征向量的判別和最大個(gè)數(shù)及特征子空間;

5. 實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì);

6. 矩陣相似的概念及同一個(gè)線性變換關(guān)于不同基的矩陣之間的關(guān)系;

7. 線性變換的不變子空間、核、值域的概念及關(guān)系和計(jì)算;

8. 線性變換和矩陣可對(duì)角化的概念和條件;

9. Hamilton-Caylay定理。

(八) λ-矩陣

1. λ-矩陣的初等變換、標(biāo)準(zhǔn)形、行列式因子、不變因子、初等因子及三種因子之間的關(guān)系;

2. 矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的存在唯一性定理的證明及其應(yīng)用。

(九) 歐氏空間

1. 內(nèi)積和歐氏空間的定義及簡(jiǎn)單性質(zhì)，如柯西—布涅可夫斯基不等式、三角不等式、勾股定理等;

2. 歐氏空間的度量矩陣的概念及性質(zhì);

3. 歐氏空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基概念及其求法和性質(zhì)的證明與應(yīng)用;

4. 正交變換和正交矩陣的等價(jià)條件;

5. 對(duì)稱變換的概念及其簡(jiǎn)單性質(zhì);

6. 實(shí)對(duì)稱矩陣的正交相似對(duì)角化定理及其相應(yīng)正交矩陣和對(duì)角矩陣的求法;

7. 線性無(wú)關(guān)向量組的施密特(Schmidt)正交化方法;

8. 兩類正交變換、酉空間和酉變換;

9. 正交相似變換。

(十) 雙線性函數(shù)

1. 對(duì)偶基定義、性質(zhì)計(jì)算與證明;

2. 線性函數(shù)、同構(gòu)映射定義定義及性質(zhì);

3. 雙線性函數(shù)、對(duì)稱雙線性函數(shù)和反對(duì)稱雙線性函數(shù)的定義及性質(zhì)。