線性代數(shù)要記住的結(jié)論
1、行列式
1.         行列式共有 個元素，展開后有 項，可分解為 行列式；
2.        代數(shù)余子式的性質(zhì)：
①、 和 的大小無關(guān)；
②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代數(shù)余子式為0；
③、某行（列）的元素乘以該行（列）元素的代數(shù)余子式為 ；
3.        代數(shù)余子式和余子式的關(guān)系：
4.        設(shè) 行列式 ：
將 上、下翻轉(zhuǎn)或左右翻轉(zhuǎn)，所得行列式為 ，則 ；
將 順時針或逆時針旋轉(zhuǎn) ，所得行列式為 ，則 ；
將 主對角線翻轉(zhuǎn)后（轉(zhuǎn)置），所得行列式為 ，則 ；
將 主副角線翻轉(zhuǎn)后，所得行列式為 ，則 ；
5.        行列式的重要公式：
①、主對角行列式：主對角元素的乘積；
②、副對角行列式：副對角元素的乘積 ；
③、上、下三角行列式（ ）：主對角元素的乘積；
④、 和 ：副對角元素的乘積 ；
⑤、拉普拉斯展開式： 、
⑥、范德蒙行列式：大指標(biāo)減小指標(biāo)的連乘積；
⑦、特征值；
6.        對于 階行列式 ，恒有： ，其中 為 階主子式；
7.        證明 的方法：
①、 ；
②、反證法；
③、構(gòu)造齊次方程組 ，證明其有非零解；
④、利用秩，證明 ；
⑤、證明0是其特征值；
2、矩陣
1.         是 階可逆矩陣：
  （是非奇異矩陣）；
  （是滿秩矩陣）
  的行（列）向量組線性無關(guān)；
齊次方程組 有非零解；
  ， 總有唯一解；
  與 等價；
  可表示成若干個初等矩陣的乘積；
  的特征值全不為0；
  是正定矩陣；
  的行（列）向量組是 的一組基；
  是 中某兩組基的過渡矩陣；
2.        對于 階矩陣 ：  無條件恒成立；
3.         

4.        矩陣是表格，推導(dǎo)符號為波浪號或箭頭；行列式是數(shù)值，可求代數(shù)和；
5.        關(guān)于分塊矩陣的重要結(jié)論，其中均 、 可逆：
若 ，則：
Ⅰ、 ；
Ⅱ、 ；
②、 ；（主對角分塊）
③、 ；（副對角分塊）
④、 ；（拉普拉斯）
⑤、 ；（拉普拉斯）
3、矩陣的初等變換與線性方程組
1.        一個 矩陣 ，總可經(jīng)過初等變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，其標(biāo)準(zhǔn)形是唯一確定的： ；
等價類：所有與 等價的矩陣組成的一個集合，稱為一個等價類；標(biāo)準(zhǔn)形為其形狀最簡單的矩陣；
對于同型矩陣 、 ，若 ；
2.        行最簡形矩陣：
①、只能通過初等行變換獲得；
②、每行首個非0元素必須為1；
③、每行首個非0元素所在列的其他元素必須為0；
3.        初等行變換的應(yīng)用：（初等列變換類似，或轉(zhuǎn)置后采用初等行變換）
①、        若 ，則 可逆，且 ；
②、對矩陣 做初等行變化，當(dāng) 變?yōu)?時， 就變成 ，即： ；
③、求解線形方程組：對于 個未知數(shù) 個方程 ，如果 ，則 可逆，且 ；
4.        初等矩陣和對角矩陣的概念：
①、初等矩陣是行變換還是列變換，由其位置決定：左乘為初等行矩陣、右乘為初等列矩陣；
②、 ，左乘矩陣 ， 乘 的各行元素；右乘， 乘 的各列元素；
③、對調(diào)兩行或兩列，符號 ，且 ，例如： ；
④、倍乘某行或某列，符號 ，且 ，例如： ；
⑤、倍加某行或某列，符號 ,且 ，如： ；
5.        矩陣秩的基本性質(zhì)：
①、 ；
②、 ；
③、若 ，則 ；
④、若 、 可逆，則 ；（可逆矩陣不影響矩陣的秩）
⑤、 ；（※）
⑥、 ；（※）
⑦、 ；（※）
⑧、如果 是 矩陣， 是 矩陣，且 ，則：（※）
        Ⅰ、 的列向量全部是齊次方程組 解（轉(zhuǎn)置運(yùn)算后的結(jié)論）；
        Ⅱ、
⑨、若 、 均為 階方陣，則 ；
6.        三種特殊矩陣的方冪：
①、秩為1的矩陣：一定可以分解為列矩陣（向量） 行矩陣（向量）的形式，再采用結(jié)合律；
②、型如 的矩陣：利用二項展開式；
        二項展開式： ；
        注：Ⅰ、 展開后有 項；
Ⅱ、
Ⅲ、組合的性質(zhì)： ；
③、利用特征值和相似對角化：
7.        伴隨矩陣：
①、伴隨矩陣的秩： ；
②、伴隨矩陣的特征值： ；
③、 、
8.        關(guān)于 矩陣秩的描述：
①、 ， 中有 階子式不為0， 階子式全部為0；（兩句話）
②、 ， 中有 階子式全部為0；
③、 ， 中有 階子式不為0；
9.        線性方程組： ，其中 為 矩陣，則：
①、 與方程的個數(shù)相同，即方程組 有 個方程；
②、 與方程組得未知數(shù)個數(shù)相同，方程組 為 元方程；
10.        線性方程組 的求解：
①、對增廣矩陣 進(jìn)行初等行變換（只能使用初等行變換）；
②、齊次解為對應(yīng)齊次方程組的解；
③、特解：自由變量賦初值后求得；
11.        由 個未知數(shù) 個方程的方程組構(gòu)成 元線性方程：
①、 ；
②、 （向量方程， 為 矩陣， 個方程， 個未知數(shù)）
③、 （全部按列分塊，其中 ）；
④、 （線性表出）
⑤、有解的充要條件： （ 為未知數(shù)的個數(shù)或維數(shù)）
4、向量組的線性相關(guān)性
1.         個 維列向量所組成的向量組 ： 構(gòu)成 矩陣 ；
個 維行向量所組成的向量組 ： 構(gòu)成 矩陣 ；
含有有限個向量的有序向量組與矩陣一一對應(yīng)；
2.        ①、向量組的線性相關(guān)、無關(guān)         有、無非零解；（齊次線性方程組）
②、向量的線性表出                         是否有解；（線性方程組）
③、向量組的相互線性表示         是否有解；（矩陣方程）
3.        矩陣 與 行向量組等價的充分必要條件是：齊次方程組 和 同解；( 例14)
4.         ；( 例15)
5.         維向量線性相關(guān)的幾何意義：
①、 線性相關(guān)                  ；
②、 線性相關(guān)          坐標(biāo)成比例或共線（平行）；
③、 線性相關(guān)          共面；
6.        線性相關(guān)與無關(guān)的兩套定理：
若 線性相關(guān)，則 必線性相關(guān)；
若 線性無關(guān)，則 必線性無關(guān)；（向量的個數(shù)加加減減，二者為對偶）
若 維向量組 的每個向量上添上 個分量，構(gòu)成 維向量組 ：
若 線性無關(guān)，則 也線性無關(guān)；反之若 線性相關(guān)，則 也線性相關(guān)；（向量組的維數(shù)加加減減）
簡言之：無關(guān)組延長后仍無關(guān)，反之，不確定；
7.        向量組 （個數(shù)為 ）能由向量組 （個數(shù)為 ）線性表示，且 線性無關(guān)，則 (二版 定理7)；
向量組 能由向量組 線性表示，則 ；（ 定理3）
向量組 能由向量組 線性表示
有解；
                 （ 定理2）
        向量組 能由向量組 等價 （ 定理2推論）
8.        方陣 可逆 存在有限個初等矩陣 ，使 ；
①、矩陣行等價： （左乘， 可逆） 與 同解
②、矩陣列等價： （右乘， 可逆）；
③、矩陣等價： （ 、 可逆）；
9.        對于矩陣 與 ：
①、若 與 行等價，則 與 的行秩相等；
②、若 與 行等價，則 與 同解，且 與 的任何對應(yīng)的列向量組具有相同的線性相關(guān)性；
③、矩陣的初等變換不改變矩陣的秩；
④、矩陣 的行秩等于列秩；
10.        若 ，則：
①、 的列向量組能由 的列向量組線性表示， 為系數(shù)矩陣；
②、 的行向量組能由 的行向量組線性表示， 為系數(shù)矩陣；（轉(zhuǎn)置）
11.        齊次方程組 的解一定是 的解，考試中可以直接作為定理使用，而無需證明；
①、         只有零解 只有零解；
②、         有非零解 一定存在非零解；
12.        設(shè)向量組 可由向量組 線性表示為：（ 題19結(jié)論）
（ ）
        其中 為 ，且 線性無關(guān)，則 組線性無關(guān) ；（ 與 的列向量組具有相同線性相關(guān)性）
（必要性： ；充分性：反證法）
        注：當(dāng) 時， 為方陣，可當(dāng)作定理使用；
13.        ①、對矩陣 ，存在 ，          、 的列向量線性無關(guān)；（ ）
②、對矩陣 ，存在 ，          、 的行向量線性無關(guān)；
14.         線性相關(guān)
存在一組不全為0的數(shù) ，使得 成立；（定義）
  有非零解，即 有非零解；
  ，系數(shù)矩陣的秩小于未知數(shù)的個數(shù)；
15.        設(shè) 的矩陣 的秩為 ，則 元齊次線性方程組 的解集 的秩為： ；
16.        若 為 的一個解， 為 的一個基礎(chǔ)解系，則 線性無關(guān)；（ 題33結(jié)論）
5、相似矩陣和二次型
1.        正交矩陣 或 （定義），性質(zhì)：
①、 的列向量都是單位向量，且兩兩正交，即 ；
②、若 為正交矩陣，則 也為正交陣，且 ；
③、若 、 正交陣，則 也是正交陣；
        注意：求解正交陣，千萬不要忘記施密特正交化和單位化；
2.        施密特正交化：
；

         
         ;
3.        對于普通方陣，不同特征值對應(yīng)的特征向量線性無關(guān)；
對于實(shí)對稱陣，不同特征值對應(yīng)的特征向量正交；
4.        ①、 與 等價          經(jīng)過初等變換得到 ；
， 、 可逆；
， 、 同型；
②、 與 合同         ，其中可逆；
                                 與 有相同的正、負(fù)慣性指數(shù)；
③、 與 相似         ；
5.        相似一定合同、合同未必相似；
若 為正交矩陣，則   ，（合同、相似的約束條件不同，相似的更嚴(yán)格）；
6.         為對稱陣，則 為二次型矩陣；
7.         元二次型 為正定：
的正慣性指數(shù)為 ；
與 合同，即存在可逆矩陣 ，使 ；
的所有特征值均為正數(shù)；
         的各階順序主子式均大于0；
         ；(必要條件)

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